問題概略 連立合同式 1 次不定方程式に直す できるだけ合同式のまま解く 問題概略 10 桁の整数 があります。この について\begin{align*} a&=\text{(各位の数の和)}\\ b&=\text{(前から奇数番目の位の数の和)}-\text{(前から偶数番目の位の数の和)} \end{ali…

問題概略 格子点を数える a を固定して数える 正攻法 余事象 b を固定して数える 全部書く 問題概略 中の見えない袋の中に 1～50 の番号の書かれたボールが入っています。この中から 1 個のボールを取り出して，そこに書かれた数を として記録します。 この…

問題 増加関数とその逆関数 (1)について (2)について (3)について f(x) が増加関数でないとき 問題 を 1 より大きい実数とする。このとき，次の問いに答えよ。(1) 関数 と のグラフの共有点は，存在すれば直線 上にあることを示せ。(2) 関数 と のグラフの共…

問題 解答・解説 分母について 分子について 結論 問題 を 2015 以下の正の整数とする。 が偶数となる最小の を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 解答・解説 を展開（？）すると分数式…

問題 座標をとろう (1)について (2)について 問題 1 辺の長さが 1 の正方形 ABCD において，辺 BC 上に B とは異なる点 P を取り，線分 AP の垂直 2 等分線が辺 AB，辺 AD またはその延長と交わる点をそれぞれ Q，R とする。(1) 線分 Q Rの長さを を用いて表…

問題 p の範囲を絞り込む 偶奇に注目する q の範囲を絞り込む 問題 , を自然数，, を , をみたす実数とする。このとき をみたす , の組 をすべて求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com p の…

問題 解答・解説 (1)について (2)について 問題 次の問いに答えよ。ただし， であることは用いてよい。(1) 100 桁以下の自然数で，2 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。(2) 100 桁の自然数で，2 と 5 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。 …

問題概略 解答 おまけ1：合同式を使って一般解を探す おまけ2：一般化 問題概略 マサルさんとトモエさんが次のような計算をしました。 マサルさんは連続する 11 個の自然数の和を求めて 13 を引きました。 トモエさんは連続する 13 個の自然数の和を求めて 1…

問題 特殊なケースをつぶす 実験して証明 問題 素数 , を用いて と表される素数をすべて求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 特殊なケースをつぶす まずは特殊なケースとして「 でもいいか…

問題 a, b の連立方程式を導く 連立方程式を解く 問題 複素数を係数とする 2 次式 に対し，次の条件を考える。 （イ） は で割り切れる。（ロ） の係数 , の少なくとも一方は虚数である。 この 2 つの条件(イ)，(ロ)を同時にみたす 2 次式をすべて求めよ。 …

問題概略 基本方針 mathematicaで解く 問題概略 6 枚のカードにそれぞれ異なる 1 以上の整数が書かれています。 この 6 枚から 2 枚を取り出す方法は 15 通りありますが，それらすべてについて 2 つの数の差が異なっていました。6 枚のカードに書かれた数の…

問題 解答・解説 問題 とおき，自然数 に対してと定める。以下の問いに答えよ。 ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。(1) , の値を求めよ．(2) とする。積 を， と を用いて表せ。(3) は自然数であることを示せ。(4) と の最大公約数を求めよ。 解説の pdf…

問題概略 題意を正確にとらえる 5 と 2 を作る mathematica で解く 問題概略 4 枚のカードに 1 から 9 までのいずれかの整数を記入します。同じ数を複数回記入しても構いません。 できた 4 枚のカードをすべて使って掛け算と割り算だけの計算式を作り，答え…

問題概略 解説 問題概略 一の位の数と千の位の数がともに 1 であるような 4 桁の整数のうち，7 で割ると 3 余るものはいくつあるでしょうか。http://www.sansu.org/used-html/index1099.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこち…

問題 平方して置換して理系微分 置換して文系微分 問題 曲線 上の点 P における接線は 軸と交わるとし，その交点を Q とおく。 線分 PQ の長さを とするとき， が取りうる値の最小値を求めよ。 の最小値を求める問題です。 そのまま微分しても解けますが，平…

問題概略 全パターン調べる 元ネタ（？）について 問題概略 正五角形の各頂点に丸い枠があり，その 1 つに 1 が記入されています。残りの 4 つの枠（時計回りにア～エとします）にもそれぞれ数が記入されています。隣どうしでつながっているいくつかの数（1 …

問題 解説 問題 2 つの関数 と のグラフの の部分で囲まれる領域を， 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。 ただし， と は領域を囲む線とは考えない。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.go…

問題概略 3で割った余りに注目して数える おまけ：累積和 問題概略 1 から 6 までの数が書かれたカードが 1 枚ずつ，計 6 枚あります。一辺の長さ 1 の正三角形 ABC の頂点 A からスタートして，カードを 1 枚選んでそのカードに書かれた数だけ反時計回りに…

問題 (1)について (2)について 問題 (1) を実数とするとき， を通り， に接する直線がただ 1 つ存在することを示せ。(2) として， について， を通り， に接する直線の接点の 座標を とする。このとき， を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイア…

問題概略 割る数は余りより大きい 誤答例 k の値からしぼりこむ 問題概略 次の条件をみたす自然数 , の和を求めてください。 は より大きく， の 3 倍よりは小さい を で割ると商は 1 で余りは 7 の 3 倍を で割ると余りは 5 http://www.sansu.org/used-html…

問題 増減表について 極限について 問題 関数 の増減表をつくり，, のときの極限を調べよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 増減表について まずは微分して因数分解です。どの部分が符号変化す…

問題概略 解説 問題概略 , は をみたす自然数で，次の方程式をみたします。 , の組は何通りあるでしょうか。http://www.sansu.org/used-html/index1119.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 解…

問題 (1)について (2)について 他の公式について 問題 (1) を 2 以上の自然数とするとき，関数 の における最大値 を求めよ。(2) 極限 を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com (1)について …

問題概略 漸化式を立てる fn だけの式にする 問題概略 8 段の階段を次のような方法で登ります。登り方は何通りあるでしょうか。 「一歩で 1 段」「一歩で 2 段」「一歩で 3 段」の 3 通りの登り方ができる 使わない登り方があってもよい 「一歩で 2 段」は連…

問題概略 2 進小数で考える 2倍は左シフト 周期性 問題概略 次のような性質をもつ数 あります。 0 より大きく 1 より小さい に 2 を奇数回かけると小数部分は より大きく 1 より小さくなる に 2 を偶数回かけると小数部分は 0 より大きく より小さくなる を…

問題概略 変わるところにだけ注目 37 のかわりに 111 で考える 問題概略 9 桁の数 に次の操作をします。 1～9 までの 9 つの数から 2 つの数 を選ぶ において と をいれかえて新しい数 を作る たとえば 2 と 7 を選ぶと になります。 と の差が 37 の倍数に…

問題概略 x は 9 の倍数 mathematicaで解く 手計算で解く 100 の位で繰り上がりがおきるとき 100 の位で繰り上がりがおきないとき 問題概略 4 桁の自然数 の各位の数字を並べかえた数の最大値を ，最小値を とします。 をみたす を求めてください。http://ww…