平野塾@吉祥寺

x→+0とx→π-0の極限 / 2018 東京大学・理系第1問

大学入試（日本）東京大学

問題
増減表について
極限について

問題

関数 $f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x\ (0< x< \pi)$ の増減表をつくり， $x\to +0$ , $x\to \pi-0$ のときの極限を調べよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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増減表について

まずは微分して因数分解です。どの部分が符号変化するか考えます。

\begin{align*}
f'(x)&=\frac{1\cdot \sin x-x\cos x}{\sin^2 x}-\sin x=\frac{\sin x(1-\sin^2 x)-x\cos x}{\sin^2 x}\\
&=\frac{\cos x(\sin x\cos x-x)}{\sin^2 x}=\frac{\cos x}{2\sin^2 x}(\sin 2x-2x)
\end{align*}

$t>0$ のとき $t-\sin t>0$ が成り立つのは明らかなような気もしますが，一応証明します。

$g(t)=t-\sin t\ (0< t< 2\pi)$ とおくと $g'(t)=1-\cos t> 0$ なので $g(t)$ は増加関数です。

$g(t)> g(0)=0\quad \therefore t> \sin t\quad (0< t< 2\pi)$

$f'(x)$ は $cos x$ と逆符号で，増減表は次のようになります。

f:id:variee:20211206000614p:plain

極限について

$x\to +0$ の極限は公式の $\displaystyle \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ を使うだけです。

$\lim_{x\to+0} f(x)=1+1=2$

$x\to \pi-0$ の極限計算では変数を取り直した方がいいと思います。

$x$ は $\pi$ に下から近づきます。 $x$ と $\pi$ の距離を $t=\pi-x$ とおくと， $x\to \pi-0$ のとき $t\to +0$ です。

\begin{align*}
\lim_{x\to\pi-0} f(x) &=\lim_{t\to +0} \left\{\frac{\pi-t}{\sin(\pi-t)}+\cos(\pi-t)\right\}\\
&=\lim_{t\to +0} \left(\frac{\pi}{\sin t}-\frac{t}{\sin t}-\cos t\right)=\infty
\end{align*}

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