(1+1/n)^nの極限公式 / 2016 京都大学・理系第1問

問題
(1)について
(2)について
他の公式について

問題

(1)　 $n$ を 2 以上の自然数とするとき，関数 $f(\theta)=(1+\cos\theta)\sin^{n-1}\theta$ の $0\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ における最大値 $M_n$ を求めよ。
(2)　極限 $\displaystyle\lim_{n\to \infty} (M_n)^n$ を求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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(1)について

まずは微分して因数分解です。

\begin{align*}
f_n{}'(\theta) &=-\sin\theta\cdot \sin^{n-1}\theta+(1+\cos\theta)(n-1)\sin^{n-2}\theta\cdot\cos\theta\\
&=\sin^{n-2}\theta \left\{-\sin^{2}\theta+(n-1)\cos\theta(1+\cos\theta)\right\}\\
&=\sin^{n-2}\theta \left\{-(1-\cos^{2}\theta)+(n-1)\cos\theta(1+\cos\theta)\right\}\\
&=\sin^{n-2}\theta (1+\cos\theta)\left\{\cos\theta-1+(n-1)\cos\theta\right\}\\
&=\sin^{n-2}\theta (1+\cos\theta)(n\cos\theta-1)
\end{align*}

$\cos\alpha=\frac{1}{n},\, 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ をみたす $\alpha$ が存在して増減表は次のようになります。

f:id:variee:20211205231352p:plain

$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}$ より

$M_n=f_n(\alpha)=\left(1+\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{n-1}{2}}$

(2)について

公式の $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ を使います。(1)より

$(M_n)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}}$

前半の項には公式がそのまま使えます。後半の極限を考えます。
通分して分母と分子をひっくり返すと括弧の中を和の形に直せて，その分母と指数を揃えると公式が使えます。

\begin{align*}
&\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}} =\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}}
=\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^{-\frac{n(n-1)}{2}}\\
&=\left\{\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^{n^2-1}\right\}^{-\frac{n(n-1)}{2(n^2-1)}}
=\left\{\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^{n^2-1}\right\}^{-\frac{n}{2(n+1)}}\\
&\to e^{-\frac{1}{2}}\quad (n\to \infty)
\end{align*}

答えは $e\cdot e^{-\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$ です。

他の公式について

参考書によっては準公式扱いされている

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\frac{1}{e}$

を使うと， $(M_n)^n$ の後半の変形が非常に楽になります。

\begin{align*}
\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}}
&=\left\{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right\}^{\frac{n-1}{2n}}\\
&\to \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\quad (n\to \infty)
\end{align*}

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