f(x^3)がf(x)で割り切れる条件 / 2016 京都大学・理系第6問

問題
a, b の連立方程式を導く
連立方程式を解く

問題

複素数を係数とする 2 次式 $f(x)=x^2+ax+b$ に対し，次の条件を考える。

（イ） $f(x^3)$ は $f(x)$ で割り切れる。
（ロ） $f(x)$ の係数 $a$ , $b$ の少なくとも一方は虚数である。

この 2 つの条件(イ)，(ロ)を同時にみたす 2 次式をすべて求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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a, b の連立方程式を導く

$f(x^3)=x^6+ax^3+b$ を $f(x)$ で割るか， $f(x)=0$ の解が $f(x^3)=0$ をみたすことを利用して解くのがスジだと思いますが，多項式の合同式を使って解きました。

$\bmod\, f(x)$ で考えます。 $x^2\equiv -ax-b$ より

\begin{align*}
x^3 &=x^2\cdot x\equiv (-ax-bx)x=-ax^2-bx\equiv -a(-ax-b)-bx\\
&\equiv (a^2-b)x+ab\\
x^6&=(x^3)^2\equiv \left\{(a^2-b)x+ab\right\}^2\\
&=(a^2-b)^2x^2+2(a^2-b)abx+a^2b^2\\
&\equiv (a^2-b)^2(-ax-b)+2(a^2-b)abx+a^2b^2
\end{align*}

$x^6+ax^3+b$ を $f(x)$ で割ったときの余りの 1 次式の係数はすべて 0 です。次のようになります。

$-a(a^2-b)^2+2(a^2-b)ab+a(a^2-b)=0\mbox{　……(1)}$

$-b(a^2-b)^2+a^2b^2+a^2b+b=0\mbox{　……(2)}$

それぞれ $a$ , $b$ でくくれます。まずこれらが 0 かどうか調べましょう。

$a=0$ のとき(2)は $-b^3+b=0$ つまり $b=0,\, \pm 1$ となって（ロ）に反します。

$b=0$ のときも同様に(1)から $a=0,\, \pm 1$ がいえて（ロ）に反します。

$a\ne 0$ かつ $b \ne 0$ なので(1)(2)はそれぞれ $a$ , $b$ で割ることができます。
(1)は $a^2-b$ でくくることもできて，次のように書き直せます。

$(a^2-b)(3b-a^2+1)=0\mbox{　……(3)}$

$-(a^2-b)^2+a^2b+a^2+1=0\mbox{　……(4)}$

あとは地道に場合分けです。

連立方程式を解く

i） $a^2=b\mbox{　……(5)}$ のとき

(4)は $b^2+b+1=0$ になって $b=\omega,\, \omega^2$ です。

$a^2=b$ をみたす $a$ はオイラーの公式： $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ で求めます。

$b=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} =\cos\left(\pm\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\pm\frac{2}{3}\pi\right)=e^{\pm\frac{2}{3}\pi i} \quad (\text{複号同順})$

$a^2=b$ より $|a|=|b|=1$ , $2\arg a=\arg b+2n\pi=\pm\frac{2}{3}\pi+2n\pi$ です。
適当な $n$ を選ぶと次のようになります。すべて（ロ）をみたします。

\begin{align*}
(a,\, b) &=(e^{\frac{\pi}{3} i},\, e^{\frac{2}{3}\pi i}),\,
(e^{\frac{4}{3}\pi i},\, e^{\frac{2}{3}\pi i}),\,
(e^{-\frac{\pi}{3} i},\, e^{-\frac{2}{3}\pi i}),\,
(e^{\frac{2}{3}\pi i},\, e^{-\frac{2}{3}\pi i})\\
&=(\pm e^{\frac{\pi}{3} i},\, e^{\frac{2}{3}\pi i}),\,
( \pm e^{-\frac{\pi}{3} i},\, e^{-\frac{2}{3}\pi i})
\quad (\because e^{\frac{4}{3}\pi i}=-e^{\frac{\pi}{3}},\, e^{\frac{2}{3}\pi i}=-e^{-\frac{\pi}{3} i})\\
&=\left(\pm\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right),\,
\left(\pm\frac{1-\sqrt{3}i}{2},\, \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)\mbox{　……(6)}
\end{align*}

ii） $a^2=3b+1\mbox{　……(7)}$ のとき