問題
2 つの関数
と
のグラフの
の部分で囲まれる領域を，
軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。
ただし，と
は領域を囲む線とは考えない。
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
解説
まず交点を求めます。
のとき
\begin{align*}
&2x=x+\frac{\pi}{8}+2m\pi\ \text{or}\ 2x=\pi-\left(x+\frac{\pi}{8}\right)+2n\pi\\
&\therefore x=\frac{\pi}{8}+2m\pi,\, \frac{7}{24}\pi +\frac{2}{3}n\pi\quad (\text{$m$, $n$は整数})
\end{align*}
より
で，グラフは次のようになります。
求める体積を とおきます。倍角公式を使うだけですね。
\begin{align*}
V&=\pi\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{7}{24}\pi} \left\{\sin^2 2x-\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right) \right\}dx\\
&=\frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{7}{24}\pi}
\left[(1-\cos 4x)-\left\{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\right\}\right]dx\\
&=\frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{7}{24}\pi} \left\{\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos 4x\right\}dx\\
&=\frac{\pi}{16}
\end{align*}
