(t^2+1)^(3/2)/(2|t|)の最小値 / 2021 京都大学・理系第2問

問題
平方して置換して理系微分
置換して文系微分

問題

曲線 $y=\frac{1}{2}(x^2+1)$ 上の点 P における接線は $x$ 軸と交わるとし，その交点を Q とおく。
線分 PQ の長さを $L$ とするとき， $L$ が取りうる値の最小値を求めよ。

$\frac{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}{2|t|}\ (t\ne 0)$ の最小値を求める問題です。
そのまま微分しても解けますが，平方してから微分した方が楽です。
また， $\tan$ で置換すると 3 次関数の微分で解けます。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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平方して置換して理系微分

$y=\frac{1}{2}(x^2+1)$ のとき $y'=x$ なので $x=t$ における接線は

$y=t(x-t)+\frac{t^2+1}{2}$

$t=0$ のときこれは $x$ 軸と交わらないので $t\ne 0$ で
$\displaystyle\mathrm{Q}\left(\frac{t^2-1}{2t}, 0\right)$ です。

接線の傾きは $t$ なので $L$ は次のようになります。
$L=\sqrt{1+t^2}\,|x_{\mathrm{P}}-x_{\mathrm{Q}}|=\sqrt{1+t^2}\cdot \frac{t^2+1}{2|t|} =\frac{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}{2|t|}$

$L>0$ なので $L$ が最小になるとき $L^2=\frac{(t^2+1)^3}{4t^2}$ も最小になります。

$t^2=u\, (>0)$ とおいて $f(u)=\frac{(u+1)^3}{4u}$ の増減を調べましょう。

$f'(u)=\frac{(u+1)^2(2u-1)}{4u^2}$ より増減表は次のようになります。

f:id:variee:20211210175742p:plain

$L$ の最小値は $\sqrt{f\left(\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ です。

$\tan$ 置換して文系微分

$L^2$ の $t^2+1$ に注目して $t=\tan\theta$ と置換します。
$L^2$ は $t$ の偶関数なので $0<\theta <\frac{\pi}{2}$ で考えます。

こうすると文系範囲の微分で解けます。

$L^2 =\frac{\left(\frac{1}{\cos^2\theta}\right)^3}{4\cdot\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} =\frac{1}{4\sin^2 \theta\cos^4 \theta} =\frac{1}{4(1-\cos^2\theta)\cos^4 \theta}$