(1)について 解法1：法は 20 と 101 解法2：法は 2020 (2)について 解法 1：法は 20 と 101 解法 2：法は 2020 問題 以下の問いに答えよ。(1) を 2020 で割った余りを求めよ。(2) 100 桁の正の整数で各位の数の和が 2 となるもののうち，2020 で割り切れるも…

問題概略 x は 99 の倍数 x の 10 の位は 9 背景 問題概略 3 桁の自然数 の各位の数字を並べかえた数の最大値を ，最小値を とします。 をみたす を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/index1165.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイア…

問題 漸化式を立てる 漸化式の導き方2つ 偶数であることの証明 β の式に直して公式を使う 問題 を正の整数とする。, は に関する方程式 の 2 つの解で， であるとする。(1) すべての正の整数 に対し， は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ。(2) 極…

問題概略 mathematicaで素因数分解 多項式の因数分解 問題概略 25 桁の自然数 を のように 2 つの自然数 , の積に分解します。 は 13 桁で は 12 桁です。 を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/index1126.html 解説の pdf も作りました。きれ…

問題概略 必要条件 十分条件 分母をはらって整理 重み付き相加・相乗平均の不等式 十分性の証明 問題概略 任意の正の実数 , , に対して次の不等式が成り立つような正の実数 をすべて求めよ。 https://artofproblemsolving.com/community/c6h1764789p11549921…

問題概略 ボールと仕切りの順列 おまけ：動的計画法 問題概略 0 以上の 5 つの整数 , , , , があります。 は 6 以下であるとき， は何通りあるでしょうか。http://www.sansu.org/used-html/index1142.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読…

問題 tan を置換 別解釈での解答 問題 を定数とし， とする。 方程式 をみたす の個数を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com tan を置換 問題文には とありますが， が定義されない と が…

問題概略 方程式で一気に解く 覆面算っぽく一桁ごとに求める d=0 のとき c=0 のとき c=5 のとき d=5 のとき c=2 のとき c=7 のとき 問題概略 4 桁の整数 （, , , は桁数字。以下同様）は をみたします。 を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/i…

問題 三角関数で置換 倍角公式 技巧的な変形 類題と図形的意味 問題 実数 , が と をみたすとき，不等式 が成り立つことを示せ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 三角関数で置換 倍角公式 とお…

問題概略 n=10a+b を 2 乗する 問題概略 のうち 10 の位が偶数となるものは何個あるか求めてください。http://www.sansu.org/used-html/index971.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com n=10a+b …

問題概略 6 個ごとにまとめて計算 複素数に直してド・モアブルの定理 問題概略 無限級数 の和を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 6 個ごとにまとめて計算 , とおいて の周期性を利用し…

問題概略 積＝一定の形に直す 奇約数を数える 問題概略 ある整数を連続する 2 個以上の自然数の和で表す方法が何通りあるか考えます。 たとえば 30 は「」「」「」の 3 通りの方法があります。 429 は何通りの方法があるでしょうか。http://www.sansu.org/us…

問題 公式を使って計算 微分の前に倍角公式 問題 曲線 の の部分の長さを求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 公式を使って計算 のとき より\begin{align*} 1+(y')^2 &=1+\frac{\sin^2 x}{…

問題概略 等差中項 問題概略 4 つの自然数 , , 63, はこの順に等差数列をなしていて， が最小です。 また，, , はすべて素数です。 を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/index1133.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みた…

問題概略 「目の集合→目の出方」の順に数える (1)について (2)について {x, y, z} 型で 1 通りのとき {x, x, y} 型で 2 通りのとき おまけ：プログラムを組んで計算 問題概略 3 個のさいころを投げる。(1) 出た目の積が 6 となる確率を求めよ。 (2) 出た目の…

問題概略 割ってから足す 足してから割る おまけ：プログラムで計算 問題概略 次のような動作をする機械があります。「キーボードから数 を入力すると を計算し，それまでの合計に加算する」この機械に 1 から 1000 までの整数を小さい順に入力していき，1 …

問題概略 斉次化して下準備 並び替え不等式 ムーアヘッドの不等式 問題概略 , , は正の実数であり をみたす。 次の不等式を証明せよ。https://artofproblemsolving.com/community/c6h1974293p13695125 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みた…

問題概略 循環小数を分数に直す あえて 10a+b を使わずに解く 問題概略 次のような循環小数 , があります。 と の間には が成り立ちます。 2 桁の整数 を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/index1152.html 解説の pdf も作りました。きれいな…

問題概略 最大クリーク問題に帰着させる 証明する 問題概略 が整数になるような正の整数の組 を「よい組」とよぶことにする。 1, 2, , 2021 からどの 2 数もよい組を作らないように数を選んでいくとき，最大で何個の数を選べるだろうか？https://artofproble…

問題概略 漸化式を立てる n が非常に大きかったら？ 置換で書く 繰り返し二乗法を使う 問題概略 X, Y, Zの 3 種類の文字を並べて長さが5の文字列を作ります。 X と Y が隣同士に並ばないような文字列は全部で何通り作ることができるでしょうか。たとえば XXX…

問題概略 (1)(2)は計算あるのみ (3)が本題です (3)の補足 4 次方程式の解と係数の関係を使おう 候補はしぼりこめる 問題概略 次の問に答えよ。 (1) を計算し，2 重根号を用いない形で表せ。 (2) とするとき， 整数係数の 4 次多項式 で となるもののうち， …

問題概略 素因数分解して指数に注目する おまけ：プログラムの速度比較 愚直解法 指数に注目 問題概略 次のルールに従って2つの自然数 , の組を作ります。 , は 720 の約数 と は互いに素 この条件をみたす の個数を求めてください。http://www.sansu.org/us…

問題概略 α の計算 分母・分子を 1-sin x 倍 tan x/2=t と置換 P(α) の計算 α の等式を作って次数下げ 計算のバリエーション 問題概略 , とおくとき と が成り立つような整数 , , , を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこ…

問題概略 どの桁の和が5か？ Σで書く 問題概略 0, 1, 2, 3, 4, 5 の書かれたカードが 1 枚ずつ，全部で 6 枚あります。 これらのカードのうち 4 枚を使って 4 桁の整数を作ります。 隣どうしの数字の和が 5 になる場所が 2 ヵ所ある数の総和 を求めてくださ…

問題概略 n の 1 の位は 9 n の下 2 桁は 99 9 で割った余りに注目 問題概略 4 桁の整数 の各位の数の和は 17 の倍数です。また， の各位の数の和も 17 の倍数です。 このような のうち，最も大きいものを求めてください。http://www.sansu.org/used-html/in…

問題概略 ガウス記号を使う 不等式で評価 mathematicaで解くなら 問題概略 正の有理数 （整数でない）があります。 を 4 で割り，小数第 2 位を四捨五入してから 5 を加えると のちょうど 3 倍になりました。 もとの有理数 を求めてください。http://www.san…

問題概略 判別式をとる 平方完成する 問題概略 次の方程式の実数解をすべて求めよ。 https://artofproblemsolving.com/community/c6h2476049p20756123 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 判別式を…

問題 対称性を利用して数える (1)について (2)について (3)について おまけ：プログラムを組んで計算 問題 左下の図のような縦 3 列横 3 列の 9 個のマスがある。 異なる 3 個のマスを選び，それぞれに 1 枚ずつコインを置く。 マスの選び方は，どれも同様に…

問題概略 空席を分配する 漸化式を立てる 問題概略 あるお店には 11 席のカウンター席があります。 お客さんに 2 つ以上の席を空けて座ってもらう方法は何通りあるでしょうか。 お客さんは区別しないものとし，お客さんは 0 人ではないものとします。http://…

問題 背理法で示す a3=p^2+12 に注目 a6=14-p^2 に注目 おまけ：一般項を求める 問題 を自然数とする。数列 を により定める。数列 に平方数でない項が存在することを示せ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。driv…