無限小数を2倍したときの小数部分 /「算数にチャレンジ!!」第1153問

問題概略
2 進小数で考える
2倍は左シフト
周期性

問題概略

次のような性質をもつ数 $x$ あります。

0 より大きく 1 より小さい

$x$ に 2 を奇数回かけると小数部分は $0.5$ より大きく 1 より小さくなる

$x$ に 2 を偶数回かけると小数部分は 0 より大きく $0.5$ より小さくなる

$x$ を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1153.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

2 進小数で考える

$x$ を 2 進小数であらわします。

$x=\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^k}=\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+\cdots\quad (a_k=0\, \textit{or}\ 1)$

$x$ は無限小数です。 $x$ が小数第 $n$ 位で終わる有限小数だったら 2 を $n$ 回以上かけると整数になって条件をみたしません。

また，あるところからずっと 1 が並ぶことはありません。
10 進法で $0.999\cdots_{(10)}=1$ がいえるように 2 進法では $0.01111\cdots_{(2)}=0.1_{(2)}$ などがいえて， $x$ が有限小数になってしまうからです。

以下， $x$ の小数部分を $\left\{x\right\}=x-\lfloor x\rfloor$ であらわします。

$x$ に 2 を 0 回かけた $x$ の小数部分は 0 より大きくて $0.5$ より小さいので

$0< \left\{x\right\}=\left\{\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+\cdots\right\}< \frac{1}{2}$

$a_1=1$ はこれをみたさないので $a_1=0$ です。

$2x=a_1+\dfrac{a_2}{2}+\dfrac{a_3}{2^2}+\dfrac{a_4}{2^3}+\cdots$ の条件は

$\frac{1}{2}< \left\{2x\right\}=\left\{\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+\frac{a_4}{2^3}+\cdots\right\}< 1\mbox{　……(1)}$

$\dfrac{a_3}{2^2}$ から先の項の和は初項 $\dfrac{1}{2^2}$ ，公比 $\dfrac{1}{2}$ の無限等比級数を使って上から評価できます。

$0\leqq\frac{a_3}{2^2}+\frac{a_4}{2^3}+\cdots\leqq \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots=\frac{1}{2^2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

右の等号は $a_3=a_4=\cdots=1$ のとき成立しますが，これはありえません。

$\therefore 0\leqq\frac{a_3}{2^2}+\frac{a_4}{2^3}+\cdots<\frac{1}{2}\mbox{　……(2)}$

$a_2=0$ のとき(1)(2)は両立しないので $a_2=1$ です。

$a_3$ 以降についても同様です。「(1)(2)にあたる式を書く→両立する条件を求める」を繰り返します。

$a_{2m-1}=0,\, a_{2m}=1$

$x$ は初項 $\frac{1}{4}$ ，公比 $\frac{1}{4}$ の無限等比級数です。

$x=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\cdots=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\mathbf{\frac{1}{3}}$

「偶数回」に「0 回」を含めないことにすると $a_1=1$ なので $x=\frac{5}{6}$ も解になります。

$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\cdots=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\mathbf{\frac{5}{6}}$

ただ，この解釈はちょっと無理があると思うので，別解を考えるにあたって「偶数回」は「0 回」を含むものとします。

2倍は左シフト

「2 倍して小数部分をとる」は「左シフト→整数部分を捨てる」と同じです。

\begin{align*}
0.a_1 a_2 a_3 a_4\cdots_{(2)}\,&\to\, a_1.a_2 a_3 a_4 a_5\cdots_{(2)}\,\to\,0.a_2 a_3 a_4 a_5\cdots_{(2)}\\
&\,\to\, a_2.a_3 a_4 a_5 a_6\cdots_{(2)}\,\to\, 0.a_3 a_4 a_5 a_6\cdots_{(2)}\\
&\,\to\, \cdots
\end{align*}

あるところからずっと 1 が並ぶ数は考えないので，小数部分が $\frac{1}{2}$ 以上になるかどうかは小数第 1 位で決まって $a_{2m-1}=0$ , $a_{2m}=1$ はすぐにわかります。