三角関数と整数，不等式評価 / 2017 京都大学・理系第3問

問題
p の範囲を絞り込む
偶奇に注目する
q の範囲を絞り込む

問題

$p$ , $q$ を自然数， $\alpha$ , $\beta$ を $\tan \alpha=\frac{1}{p}$ , $\tan \beta=\frac{1}{q}$ をみたす実数とする。
このとき $\tan(\alpha+2\beta)=2$ をみたす $p$ , $q$ の組 $(p,\, q)$ をすべて求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

p の範囲を絞り込む

倍角公式と加法定理を使って $\tan(\alpha+2\beta)=2$ を $p$ , $q$ で表します。

$\tan 2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{\dfrac{2}{q}}{1-\dfrac{1}{q^2}}=\dfrac{2q}{q^2-1}\mbox{　……(1)}$

これは $q=1$ のとき使えないので場合分けが必要です。

$q=1$ のとき $\tan \beta=1$ より $\beta=\frac{\pi}{4}+n\pi$ （ $n$ は整数）とおけます。

$\tan(\alpha+2\beta)= \tan\left(\alpha+\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=-\frac{1}{\tan\alpha}=-p=2$

これをみたす自然数 $p$ は存在しません。
以下， $q\geqq 2$ とします。(1)が使えて

\begin{align*}
\tan(\alpha+2\beta) &=\frac{\tan\alpha+\tan 2\beta}{1-\tan\alpha\tan 2\beta}
=\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{1}{p}\cdot\frac{2q}{q^2-1}}\\
&=\frac{q^2-1+2pq}{p(q^2-1)-2q}=2
\end{align*}

分母をはらって整理します。

\begin{align*}
&q^2-1+2pq=2(pq^2-p-2q)\\
&\therefore 2 p(q^2-q-1)=q^2+4q-1\mbox{　……(2)}
\end{align*}

$p$ について 1 次， $q$ について 2 次なので低次な $p$ について整理しました。

$q\geqq 2$ より $q^2-q-1=\left(q-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}>0$ なので $p=\cdots$ の形に直せます。

\begin{align*}
p &=\frac{q^2+4q-1}{2 (q^2-q-1)}\mbox{　……(3)}\\
&=\frac{1}{2}\left(1+\frac{5q}{q^2-q-1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{5}{q-\frac{1}{q}-1}\right)
\end{align*}

分母は $q$ の増加関数でつねに正なので， $p$ は $q$ の減少関数です。
$q=2$ の場合を考えると