予想して証明する極限 / 2015 京都大学・理系第3問

問題
(1)について
(2)について

問題

(1)　 $a$ を実数とするとき， $a,\, 0)$ を通り， $y=e^x+1$ に接する直線がただ 1 つ存在することを示せ。
(2)　 $a_1=1$ として， $n=1,\, 2,\, \cdots$ について， $(a_n,\, 0)$ を通り， $y=e^x+1$ に接する直線の接点の $x$ 座標を $a_{n+1}$ とする。このとき， $\displaystyle\lim_{n\to \infty} (a_{n+1}-a_n)$ を求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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(1)について

$x=t$ における接線は $y=e^t(x-t)+e^t+1$ で，これが $a,\, 0)$ を通る条件は $0=e^t(a-t)+e^t+1$ です。パラメータ分離しましょう。

$a=t-1-e^{-t}\quad (\because e^t\ne 0)\mbox{　……(A)}$

右辺を $f(t)$ とおいて， $y=f(t)$ のグラフと $y=a$ のグラフが 1 回だけ交わることを証明します。

$f'(t)=1+e^{-t}>0$ より $f(t)$ は増加関数です。極限もすぐわかります。

$\lim_{t\to\infty} f(t)=\infty,\, \lim_{t\to -\infty} f(t)=-\infty$

$f(t)=a$ をみたす実数 $t$ がただ 1 つ存在します。(1)証明終わり。

(2)について

漸化式を導くところまでは楽勝ですね。
(A)で $a\to a_n$ , $t\to a_{n+1}$ と置き換えた式が成立します。

\begin{align*}
&a_{n}=a_{n+1}-1-e^{-a_{n+1}}\\
&\therefore a_{n+1}-a_n=1+e^{-a_{n+1}}\mbox{　……(B)}
\end{align*}

この漸化式は解けないので，「予想して証明」です。

$\{a_n\}$ の収束を仮定して $\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ とおきます。(B)で $n\to \infty$ とおくと

$\alpha-\alpha=1+e^{-\alpha}\quad \therefore e^{-\alpha}=-1$

これは不合理なので $\{a_n\}$ は収束しないはずです。
$\pm \infty$ になるか振動するかについては，(B)から $\{a_n\}$ が増加列であることがわかるので $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ 予想できます。
これを証明するために $a_n$ を下から評価します。