平野塾@吉祥寺

桁数字2つをいれかえると元の数との差が37の倍数になる /「算数にチャレンジ!!」第1136問

算数にチャレンジ!!

問題概略
変わるところにだけ注目
37 のかわりに 111 で考える

問題概略

9 桁の数 $x=123456789$ に次の操作をします。

1～9 までの 9 つの数から 2 つの数 $i,\, j\ (i< j)$ を選ぶ

$x$ において $i$ と $j$ をいれかえて新しい数 $y$ を作る

たとえば 2 と 7 を選ぶと $y=173456289$ になります。
$x$ と $y$ の差が 37 の倍数になるような $i$ , $j$ の選び方は何通りあるでしょうか。
http://www.sansu.org/used-html/index1136.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

変わるところにだけ注目

2 と 7 をいれかえるときの $x-y$ は次のようにして計算できます。

\begin{align*}
x-y &=(2\cdot 10^{7}+7\cdot 10^2)-(2\cdot 10^{2}+7\cdot 10^7)\\
&=(2-7)(10^7-10^2)=-5\cdot 10^2 (10^5-1)
\end{align*}

$10^5-1=3^2\cdot 41\cdot 271$ は 37 の倍数ではないので $(i,\, j)=(2,\, 7)$ は条件をみたしません。

これを一般化します。 $x=\sum_{k=1}^9 k\cdot 10^{9-k}$ において $k=i,\, j\ (i< j)$ の項を交換したとします。

$x-y=(i-j)(10^{9-i}-10^{9-j})=(i-j)10^{9-j}(10^{j-i}-1)$

$i-j$ と 10 は 37 と互いに素なので $10^{j-i}-1=\underbrace{99\cdots 9}_{\text{$j-i$個}}$ が 37 で割り切れるような $(i,\, j)$ の個数が答えです。

$j-i=1,\, 2,\, \cdots, 8$ のときの値を実際に割ってみると条件をみたすのは $j-i=3,\, 6$ のときだとわかります。

$(i,\, j)$ は次の 9 個で，答えは「9 通り」です。

$(1,\, 4),\, (2,\, 5),\, (3,\, 6),\, (4,\, 7),\, (5,\, 8),\, (6,\, 9),\, (1,\, 7),\, (2,\, 8),\, (3,\, 9)$

37 のかわりに 111 で考える

「9 と 37 が互いに素であること」「 $37\cdot 3=111$ 」を利用すると $j-i=3,\, 6$ をもっと楽に導けます。

$\underbrace{99\cdots 9}_{\text{$j-i$個}}=9\times \underbrace{11\cdots 1}_{\text{$j-i$個}}$

これが 37 で割りきれる条件は $37\cdot 3=111$ で割りきれる条件と同じで， $j-i$ が 3 の倍数であることです。 $1\leqq j-i\leqq 8$ より $j-i=3,\, 6$ が導けます。

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