小さい方から5番目の公約数と最小公倍数から元の数を求める /「算数にチャレンジ!!」第1204問

問題概略
指数に注目
条件1, 2の言い換え
- 条件1について
- 条件2について
3数の決定

問題概略

3 つの異なる整数 $a$ , $b$ , $c$ があります。この 3 つの整数は次の条件をみたします。

（条件1） $a$ と $b$ の公約数を小さい方から並べると 5 番目が 14

（条件2） $b$ と $c$ の公約数を小さい方から並べると 5 番目が 15

（条件3） $a$ , $b$ , $c$ の最小公倍数は 2100

$a$ の値を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1204.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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指数に注目

$2100=2^2\times 3\times 5^2\times 7$ なので $a$ , $b$ , $c$ に含まれる素数は 2, 3, 5, 7 だけです。
これらの指数に注目して解きます。ちょっと大げさかもしれませんが，次のようにおきます。
\begin{align*}
a &=2^{k_1}\times 3^{l_1}\times 5^{m_1}\times 7^{n_1}\\
b &=2^{k_2}\times 3^{l_2}\times 5^{m_2}\times 7^{n_2}\\
c &=2^{k_3}\times 3^{l_3}\times 5^{m_3}\times 7^{n_3}
\end{align*}

条件 3 は次のように表せます。
\begin{align*}
&\max\left\{k_1,\, k_2,\, k_3\right\}=2,\,
\max\left\{l_1,\, l_2,\, l_3\right\}=1,\, \\
&\max\left\{m_1,\, m_2,\, m_3\right\}=2,\,
\max\left\{n_1,\, n_2,\, n_3\right\}=1\mbox{　……(A)}
\end{align*}

条件1, 2の言い換え

条件1について

$14=2\times 7$ の約数は 1, 2, 7, 14 なので $a$ と $b$ の公約数の最初の 5 個は $(1,\, 2,\, \square,\, 7,\, 14)$ の形に書けて， $\square$ には 3 か 4 か 5 が入ります。

$\square=3$ のとき $(1,\, 2,\, 3,\, 6,\, 7,\, 14)$ になって，14 は 6 番目なので不適
$\square=4$ のとき $(1,\, 2,\, 4,\, 7,\, 14)$ になって条件をみたす
$\square=5$ のとき $(1,\, 2,\, 5,\, 7,\, 10,\, 14)$ になって，14 は 6 番目なので不適

$a$ と $b$ の公約数を小さい方から順に並べると $1,\, 2,\, 4,\, 7,\, 14,\, \cdots$ となるので，条件 1 は次のように表せます。
\begin{align*}
&k_1=k_2=2,\, \min\left\{l_1,\, l_2\right\}=0,\,
\min\left\{m_1,\, m_2\right\}=0,\,
n_1=n_2=1\mbox{　……(B)}
\end{align*}

条件2について

条件 2 についても同様に考えると， $b$ と $c$ の公約数の最初の 5 個は 1, 3, 5, 7, 15 だとわかります。
これを指数の条件に直すと次のようになります。
\begin{align*}
&\min\left\{k_2,\, k_3\right\}=0,\,
l_2=l_3=1,\, \min\left\{m_2,\, m_3\right\}\geqq 1,\,
n_2=n_3=1\mbox{　……(C)}
\end{align*}

$m_2$ , $m_3$ の条件が $\min\left\{m_2,\, m_3\right\}=1$ でないのは $\min\left\{m_2,\, m_3\right\}=2$ でもかまわないからです。
この場合， $b$ と $c$ の公約数は $1,\, 3,\, 5,\, 7,\, 15,\, 25,\, \cdots$ になって条件をみたします。

3数の決定

(A)～(C)で指数はほぼ決まります。

$k_1=k_2=2$ , $k_3=0$
$l_1=0$ , $l_2=l_3=1$
$m_1=0$ で $(m_2,\, m_3)=(1,\, 2),\, (2,\, 1),\, (2,\, 2)$
$n_1=n_2=n_3=1$

$a$ の値は $2^2\times 3^0\times 5^0\times 7^1$ の「28」です。
オマケとして $(a,\, b,\, c)$ も書いておきます。
\begin{align*}
(28,\, 420,\, 525),\, (28,\, 2100,\, 105), (28,\, 2100,\, 525)
\end{align*}

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