4桁のカプレカー数 /「算数にチャレンジ!!」第1021問

問題概略
x は 9 の倍数
mathematicaで解く
手計算で解く
- 100 の位で繰り上がりがおきるとき
- 100 の位で繰り上がりがおきないとき

問題概略

4 桁の自然数 $x$ の各位の数字を並べかえた数の最大値を $M$ ，最小値を $m$ とします。
$M-m=x$ をみたす $x$ を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1021.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

第 1165 回にも出題されているカプレカー数の問題です。

ja.wikipedia.org

x は 9 の倍数

$x$ の各位の数字を $a$ , $b$ , $c$ , $d$ $(a\geqq b\geqq c\geqq d)$ とします。

\begin{align*}
&M=1000a+100b+10c+d,\, m=1000d+100c+10b+a\\
&\therefore x=M-m=999(a-d)+90(b-c)
\end{align*}

$x$ は 9 の倍数です。

mathematicaで解く

手計算で解くのは大変なので，まずは mathematica で答えを出しました。
IntegerDigits で $x$ の桁数字のリストを作って Sort で並べかえたものを連結すると $M$ と $m$ が作れます。
条件をみたす $x$ は 6174だけでした。

In[]:= AbsoluteTiming[
 f[n_] := Module[{a, b, lst},
   lst = Sort@IntegerDigits@n;
   a = FromDigits@Reverse@lst;
   b = FromDigits@lst;
   a - b == n];
 ans = First@Select[Range[1008, 9999, 9], f]]

Out[]= {0.0079527, 6174}

手計算で解く

$x=1000p+100q+10r+s$ とおきます。
$M-m=x$ を $M=m+x$ に変形して筆算で考えます。

f:id:variee:20211129200816p:plain

$a$ ～ $d$ の大小関係を考えると 1 の位と 10 の位では繰り上がりがおきることがすぐにわかります。

\begin{align*}
&a+s=d+10,\, b+r+1=c+10\\
&\therefore s=d-a+10,\, r=c-b+9
\end{align*}

100 の位は繰り上がりがおきるかどうか場合分けが必要です。

100 の位で繰り上がりがおきるとき

100 の位と 1000 の位に注目すると $c+q+1=b+10$ , $d+p+1=a$ を得ます。

\begin{align*}
&q=b-c+9,\, p=a-d-1\\
&\therefore (p,\, q,\, r,\, s)=(a-d-1,\,b-c+9,\, c-b+9,\, d-a+10)
\end{align*}

$q=b-c+9\geqq 0+9= 9$ と $q\leqq 9$ から $b=c$ と $q=9$ がわかります。 $a=9$ もわかりますね。

$\therefore (p,\, q,\, r,\, s)=(8-d,\,9,\, 9,\, d+1)$

$p$ ～ $s$ のなかに 9 が 2 つ含まれることと $a=9 \geqq b=c\geqq d$ から $a=b=c=9$ がわかります。

$8-d$ と $d+1$ の片方は $c=9$ です。 $8-d=9$ はありえないので $d+1=9$ より $d=8$ です。

ただ，このとき次のようになって $x$ が 9 の倍数であることと矛盾します。この場合は不適です。

$x\equiv a+b+c+d=9+9+9+8\equiv 8\pmod{9}$

100 の位で繰り上がりがおきないとき

$c+q+1=b$ , $d+p=a$ より

\begin{align*}
&q=b-c-1,\, p=a-d\\
&\therefore (p,\, q,\, r,\, s)=(a-d,\,b-c-1,\, c-b+9,\, d-a+10)
\end{align*}

この式から $p+s=10$ , $q+r=8$ がわかるので $p$ , $q$ を決めれば $r$ , $s$ も決まります。

ただ， $1\leqq p\leqq 9$ , $0\leqq q\leqq 8$ より $(p,\, q,\, r,\, s)$ の候補は全部で $9^2=81$ 通りあって，しらみつぶしするには多すぎます。
まずは桁数字の「組」ではなく「集合」を相手にしましょう。

\begin{align*}
\{p,\, s\} &=\{1, 9\}, \{2, 8\}, \{3, 7\}, \{4, 6\}, \{5, 5\}\\
\{q,\, r\} &=\{0, 8\}, \{1, 7\}, \{2, 6\}, \{3, 5\}, \{4, 4\}
\end{align*}

$\{p,\, q,\, r,\, s\}=\{a,\, b,\, c,\, d\}$ はこれらを組みあわせたもので $5^2=25$ 個あります。
$a$ ～ $d$ がわかりやすいようにソートしたものを書いておきます。

\begin{align*}
&\{0, 1, 8, 9\}, \{1, 1, 7, 9\}, \{1, 2, 6, 9\}, \{1, 3, 5, 9\}, \{1, 4, 4, 9\},\\
&\{0, 2, 8, 8\}, \{1, 2, 7, 8\}, \{2, 2, 6, 8\}, \{2, 3, 5, 8\}, \{2, 4, 4, 8\},\\
&\{0, 3, 7, 8\}, \{1, 3, 7, 7\}, \{2, 3, 6, 7\}, \{3, 3, 5, 7\}, \{3, 4, 4, 7\},\\
&\{0, 4, 6, 8\}, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 4, 6, 6\}, \{3, 4, 5, 6\}, \{4, 4, 4, 6\},\\
&\{0, 5, 5, 8\}, \{1, 5, 5, 7\}, \{2, 5, 5, 6\}, \{3, 5, 5, 5\}, \{4, 4, 5, 5\}
\end{align*}

これらをまともにチェックする前に「 $p=a-d$ と $s=10-p$ が $\{a,\, b,\, c,\, d\}$ に含まれるか」で候補をしぼりこむと少し楽です。

たとえば $\{0,\,1,\,8,\, 9\}$ のとき $a=9$ , $d=0$ で $p=a-d=9$ と $s=10-p=1$ は $\{a,\, b,\, c,\, d\}$ に含まれるのでこの簡易チェックをパスしますが， $\{1, 1, 7, 9\}$ は否定されます。
この方法で $\{a,\, b,\, c,\, d\}$ は 4 パターンに絞られます。