平野塾@吉祥寺

増加関数とその逆関数のグラフの交点数 / 2018 名古屋大学・理系第2問

名古屋大学大学入試（日本）

問題
増加関数とその逆関数
f(x) が増加関数でないとき

問題

$a$ を 1 より大きい実数とする。このとき，次の問いに答えよ。
(1)　関数 $y=a^x$ と $y=\log_a x$ のグラフの共有点は，存在すれば直線 $y=x$ 上にあることを示せ。
(2)　関数 $y=a^x$ と $y=\log_a x$ のグラフの共有点は 2 個以下であることを示せ。
(3)　関数 $y=a^x$ と $y=\log_a x$ のグラフの共有点は 1 個であるとする。このときの共有点の座標と $a$ の値を求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

増加関数とその逆関数

(1)について

　 $y=a^x\mbox{　……(A)}$ , $y=\log_a x\mbox{　……(B)}$ とおきます。

$f(x)=a^x$ とおくと(A)は $y=f(x)$ で，(B)は $x=f(y)$ です。これらは互いに逆関数の関係にあります。

要するにこの(1)で要求されているのはこういうことです。

「 $f(x)$ が増加関数であるとき， $y=f(x)$ とその逆関数のグラフの交点はすべて直線 $y=x$ 上にあることを示せ」

平均値の定理を使うと簡単に示せます。(A)と(B)を辺ごとに引くと

$y-x=f(x)-f(y)\mbox{　……(C)}$

$f(x)$ は連続かつ微分可能なので平均値の定理が使えて，次の式をみたす $z$ が $x$ と $y$ の間に存在します。

$f(x)-f(y)=(x-y)f'(z)=(x-y)a^z \log a\mbox{　……(D)}$

(C)(D)から $f(x)-f(y)$ を消去します。

$y-x=(x-y)a^z \log a$

$y\ne x$ のときこれは $-1=a^z \log a$ となりますが， $a>1$ よりこれをみたす $a$ , $z$ は存在しません。
(A)と(B)が共有点をもつとき，その点はすべて $y=x$ 上にあります。証明終わり。

(2)について

(1)より(A)と $y=x$ の共有点が 2 個以下であることを示せば十分です。 $a>1$ より(A)のグラフは下に凸なので $y=x$ との交点は 2 個以下です。証明終わり。

(3)について

(3)も(A)と $y=x$ で考えれば十分です。これらが接するときの $a$ の値と接点の座標を求めます。

$h(x)=x$ とおきます。 $y=f(x)$ と $y=h(x)$ が $x=t$ で接する条件は $f(t)=h(t)$ かつ $f'(t)=h'(t)$ です。

$a^t=t\mbox{　……(E)},\, a^t \log a=1\mbox{　……(F)}$

これは $a$ と $t$ の連立方程式です。文字消去を考えましょう。

まず(E)(F)から $a^t$ を消去します。

$t\log a=1\Leftrightarrow \log a^t=1\Leftrightarrow a^t=e\mbox{　……(G)}$

(E)(G)から $t=e$ がいえて，接点は「 $(e,\, e)$ 」です。

(G)に $t=e$ を代入すると $a^e=e$ より「 $a=e^{\frac{1}{e}}$ 」が言えます。これで全部解けました。

f(x) が増加関数でないとき

(1)で示した「 $y=f(x)$ とその逆関数のグラフの交点はすべて直線 $y=x$ 上にある」が言えるのは $f(x)$ が増加関数のときだけです。減少関数のときは言えません。

$f(x)$ が減少関数のときも(C)(D)までは言えます。

\begin{align*}
\begin{cases}
y-x=f(x)-f(y)\\[3pt]
f(x)-f(y)=(x-y)f'(z)
\end{cases}
\end{align*}

$f(x)-f(y)$ を消去すると $y-x=(x-y)f'(z)$ になります。 $y\ne x$ のときこれは $f'(z)=-1$ になります。

減少関数だったらこれをみたす $z$ が存在する可能性がありますよね。(1)のように矛盾を導くことはできないので， $y=x$ 上以外にも共有点をもつ可能性があります。

ちなみに「交点は $y=-x$ 上にある」は言えません。たとえば $y=-x-1$ は減少関数です。

$x+y=-1$ と変形できることからわかるように，逆関数は元の関数と同じなので交点はすべて $y=-x-1$ 上にあります。

$y=f(x)$ と $y=f^{-1}(x)$ の問題を $y=f(x)$ と $y=x$ で議論するときがあるかと思いますが，そういうときは「 $f(x)$ は増加関数なので」を必ず書きましょう。

variee.hatenablog.com