1xy1を7で割った余りは3 /「算数にチャレンジ!!」第1099問

一の位の数と千の位の数がともに 1 であるような 4 桁の整数のうち，7 で割ると 3 余るものはいくつあるでしょうか。
http://www.sansu.org/used-html/index1099.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

$n$ を $1001+100x+10y$ とおいて $\bmod\, 7$ で考えるのが自然でしょう。

$1001\equiv 0$ , $100\equiv 2$ , $10\equiv 3$ なので $n\equiv 3$ の条件は $2x+3y\equiv 3\pmod{7}$ です。

100 通りの $(x,\, y)$ についてこれをチェックすれば解けますが，さすがにこれは現実的ではありません。

他の方法を考えましょう。
100 の位と 10 の位をまとめて $z$ とおきます。 $z=10x+y$ は 0 以上 99 以下の数です。

$n=1001+10z\equiv 3\ \Leftrightarrow\ 3z\equiv 3\pmod{7}$

3 と 7 は互いに素なのでこれは $z\equiv 1\pmod{7}$ と同値です。

$z$ は 2 桁以下なので $z=7k+1\ (0\leqq k \leqq 14)$ とおけて，求める個数は「15 個」です。