問題概略
中の見えない袋の中に 1～50 の番号の書かれたボールが入っています。
この中から 1 個のボールを取り出して，そこに書かれた数を
として記録します。
このボールを袋に戻さずにもう 1 個のボールを取り出して，書かれた数をとして記録します。
http://www.sansu.org/used-html/index1009.html
\end{itembox}
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
格子点を数える
,
の組の個数を数える問題です。
平面の格子点を数えることを意識すると解きやすいと思います。
で切る方法（図1）を 2 つ，
で切る方法（図2）を 1 つ紹介します。
a を固定して数える
正攻法
を固定したときの
の条件は
かつ
です。
場合分けが必要です。
ア） のとき
なので
は 1～
のうち
以外の値です。
通り
イ） のとき
なので
は 1～50 のうち
以外の値です。49 通り
これらの和をとります。答えは「1850 通り」です。
余事象
次は余事象を考えます。取り出し方は全部で 通り。
条件をみたさないのは のときです。
この不等式が成り立つには つまり
が必要です。
この条件のもとで の個数は各
通りです。
を動かして和をとりましょう。
求める個数は 通りです。
b を固定して数える
を固定したときの
の条件は
,
です。
の偶奇による場合分けが必要です。
ア） のとき
,
より
は
通りです。
イ） のとき
,
より
,
となってこれも
通りです。
求める個数の計算は次のようになります。
全部書く
を全部書きだして数えることもできます。
のとき
は 1 以上で
以下。
は除きます。
\begin{align*}
&(1,\, 1)\\
&(2,\, 1),\, (2,\, 3),\, (2,\, 4)\\
&(3,\, 1),\, (3,\, 2),\, (3,\, 4),\, (3,\, 5),\, (3,\, 6)\\
&\quad \vdots\\
&(25,\, 1),\,\cdots,\, (2,\, 24),\, (2,\, 26),\,\cdots,\, (2,\, 50)
\end{align*}
これらの組の総数は 1 から 49 までの 25 個の奇数の和です。
個。
のとき
は 1 以上で 50 以下。
は除きます。
\begin{align*}
&(26,\, 1),\,\cdots,\, (26,\, 25),\, (26,\, 27),\,\cdots,\, (26,\, 50)\\
&(27,\, 1),\,\cdots,\, (27,\, 26),\, (27,\, 28),\,\cdots,\, (27,\, 50)\\
&\quad \vdots\\
&(50,\, 1),\,\cdots,\, (50,\, 49)
\end{align*}
どの場合も 49 個です。これらの組の総数は 個。
全部で 個です。
