大学入試(日本)

2つの球と1つの平面で囲まれた領域の体積 / 2015 大阪大学・理系 第4問

問題 (1)について 球は円を回転したもの 不等式で与えられた立体の求積 (2)は微分して次数下げ 問題 座標空間の 軸上に動点 P, Q がある。P, Q は時刻 0 において,原点を出発する。 P は 軸の正の方向に,Q は 軸の負の方向に,ともに速さ 1 で動く。その後…

積分の不等式とはさみうちの原理 / 2015 大阪大学・理系 第1問

問題 (1)はまず置換 (2)ははさみうち 問題 自然数 に対して関数 を \begin{align*} f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)}\log\left(1+\frac{x}{n}\right)\quad (x\geqq 0) \end{align*} で定める。以下の問いに答えよ。 (1) を示せ。 (2) 数列 を で定める。 のとき であ…

3以上の奇数mの約数a1, a2, …, ak / 2022 東京慈恵会医科大学 第3問

慈恵の数学第3問の解説書いた。整数問題。(1)は上からの評価式が与えられていることを利用。下からの評価式を作ると解ける。(2)はよくあるパターンで二項展開すると解ける。この問題に限ったことじゃないけど受験算数より受験数学の方が解くのも解説を書くの…

円周上の点と不動点の距離の最大最小 / 2022 日本医科大学 第1問

問題 直交座標形式に直す β の求め方についての補足 問題 を虚数単位とする。O を原点とする複素数平面上において,中心が O,半径が 2 の円を とする。 上の点 に対して,複素数平面上の点 を次のように定める。 \begin{align*} w=\frac{(4+2i)z+4-4i}{z+2-…

4次方程式の解 / 2022 東京医科大学 第4問

問題 概要 2次方程式の解と係数の関係を使って解く 4次方程式の解と係数の関係を使ったらどうなるか 問題 四次方程式 ( は定数)の四つの解を , , , とする。 二つの解 と の積が であるとき, \begin{align*} \gamma^2\delta^2=\fbox{アイ} \end{align*} …

置換して偶関数の積分にもちこむ / 2022 東京医科大学 第1問(4)

問題 1 つ前の問題 邪魔な sin をどうにかする 分母の sin を cos^2 に変える 置換して偶関数にする 問題 である。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com これは小問集合の 1 問です。1 つ前も積分の…

領域内における最大値と最小値 / 2022 近畿大学・医学部 第3問

問題 (1)は 1/6 公式 (2)は文字固定 最大値について 最小値について (2)で 2x-y=k のグラフを考える 最大値について 最小値について 問題 とし,, とする。 (1) と で囲まれた図形の面積が 9 となるような定数 の値を求めよ。 (2) , が 2 つの不等式 , をみ…

感染症の感染者数の数列 / 2022 近畿大学・医学部 第2問

問題 (1)を通じて設定を理解する (2)(3)は漸化式がちがうだけ (2)について (3)について wikipediaを見てみる 問題 ある地域で発生した感染症A について,次の感染モデルを考える。感染症 A は,1 日に感染者 1 人から他者 1 人に感染する。 以下では,感染症…

三角形の外心と内分比 / 2022 近畿大学・医学部 第1問

問題 解答 座標計算など 問題 鋭角三角形 ABC があり,, であるとする。 点 A から辺 BC に下ろした垂線と BC との交点を D とおき,点 D が辺 BC を に内分するときについて考える。(1) , である。(2) 点 C から辺 AB に下ろした垂線と AB との交点を E …

角の条件が与えられた図形の面積と体積 / 2022 杏林大学 第3問

問題 (1)について (2)について 問題 ~ ,および ~ の解答を該当する解答群から最も適当なものを一つずつ選べ。(1) 座標平面上の 3 点 , , C を頂点とする三角形について考える。 点 C の 座標は正であり,原点を O として,以下の問いに答えよ。(a) をみた…

x e^(-3x)とx^2 e^(-3x)の積分 / 2022 杏林大学 第2問

問題 (1)前半について 原始関数を予想する 置換する (1)後半について (2)について 問題 解答は該当する解答群から最も適当なものを一つ選べ。自然対数の底を として,以下の問いに答えよ。(1) を積分定数として,指数関数と単項式の不定積分について,次式が…

三角関数の最大値と最小値 / 2022 杏林大学 第1問

問題 解答 楽に解こう 三角関数の略記 答えの予想と通分 最小値 最大値 sin を置換したらどうなるか 問題 (1) 三角関数について,次の関係式が成り立つ。\begin{align*} &\cos 2\theta=\fbox{アイ}\sin^2\theta+\fbox{ウ}\\ &\sin 3\theta=\fbox{エオ}\sin^3…

x+y+z=1, x+2y+3z=5, z >=0のときのxyzの最大値 / 2017 大阪大学・文系 第2問

問題 (1)について (2)について f(β) の計算 問題 実数 , , が , をみたすとする。(1) の最小値を求めよ。(2) のとき, が最大となる の値を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com (1)につい…

三角関数の関数列と確率 / 2016 大阪大学・文系 第3問

問題 (1)について 一般項について (2)について 問題 1 以上 6 以下の 2 つの整数 , に対し,関数 を次の条件(ア), (イ), (ウ)で定める。 (ア) (イ) (ウ) 以下の問いに答えよ。(1) , のとき, を求めよ。(2) 1 個のさいころを 2 回投げて,1 回目に出る目を …

増加関数とその逆関数のグラフの交点数 / 2018 名古屋大学・理系 第2問

問題 増加関数とその逆関数 (1)について (2)について (3)について f(x) が増加関数でないとき 問題 を 1 より大きい実数とする。このとき,次の問いに答えよ。(1) 関数 と のグラフの共有点は,存在すれば直線 上にあることを示せ。(2) 関数 と のグラフの共…

二項係数C(2015, m)が偶数になる最小のm / 2015 東京大学・理系 第5問

問題 解答・解説 分母について 分子について 結論 問題 を 2015 以下の正の整数とする。 が偶数となる最小の を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 解答・解説 を展開(?)すると分数式…

直角条件→座標をとる / 2018 京都大学・文系 第2問

問題 座標をとろう (1)について (2)について 問題 1 辺の長さが 1 の正方形 ABCD において,辺 BC 上に B とは異なる点 P を取り,線分 AP の垂直 2 等分線が辺 AB,辺 AD またはその延長と交わる点をそれぞれ Q,R とする。(1) 線分 Q Rの長さを を用いて表…

三角関数と整数,不等式評価 / 2017 京都大学・理系 第3問

問題 p の範囲を絞り込む 偶奇に注目する q の範囲を絞り込む 問題 , を自然数,, を , をみたす実数とする。このとき をみたす , の組 をすべて求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com p の…

100桁の自然数で2と5以外の素因数をもたないものの個数 / 2017 京都大学・文系第2問

問題 解答・解説 (1)について (2)について 問題 次の問いに答えよ。ただし, であることは用いてよい。(1) 100 桁以下の自然数で,2 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。(2) 100 桁の自然数で,2 と 5 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。 …

p^q+q^pの形の素数 / 2016 京都大学・理系 第2問

問題 特殊なケースをつぶす 実験して証明 問題 素数 , を用いて と表される素数をすべて求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 特殊なケースをつぶす まずは特殊なケースとして「 でもいいか…

f(x^3)がf(x)で割り切れる条件 / 2016 京都大学・理系 第6問

問題 a, b の連立方程式を導く 連立方程式を解く 問題 複素数を係数とする 2 次式 に対し,次の条件を考える。 (イ) は で割り切れる。(ロ) の係数 , の少なくとも一方は虚数である。 この 2 つの条件(イ),(ロ)を同時にみたす 2 次式をすべて求めよ。 …

一般項から漸化式を作って最大公約数を求める / 2017 東京大学・理系 第4問

問題 解答・解説 問題 とおき,自然数 に対してと定める。以下の問いに答えよ。 ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。(1) , の値を求めよ.(2) とする。積 を, と を用いて表せ。(3) は自然数であることを示せ。(4) と の最大公約数を求めよ。 解説の pdf…

(t^2+1)^(3/2)/(2|t|)の最小値 / 2021 京都大学・理系 第2問

問題 平方して置換して理系微分 置換して文系微分 問題 曲線 上の点 P における接線は 軸と交わるとし,その交点を Q とおく。 線分 PQ の長さを とするとき, が取りうる値の最小値を求めよ。 の最小値を求める問題です。 そのまま微分しても解けますが,平…

回転体の体積 / 2015 京都大学・理系 第1問

問題 解説 問題 2 つの関数 と のグラフの の部分で囲まれる領域を, 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。 ただし, と は領域を囲む線とは考えない。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.go…

予想して証明する極限 / 2015 京都大学・理系 第3問

問題 (1)について (2)について 問題 (1) を実数とするとき, を通り, に接する直線がただ 1 つ存在することを示せ。(2) として, について, を通り, に接する直線の接点の 座標を とする。このとき, を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイア…

x→+0とx→π-0の極限 / 2018 東京大学・理系 第1問

問題 増減表について 極限について 問題 関数 の増減表をつくり,, のときの極限を調べよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 増減表について まずは微分して因数分解です。どの部分が符号変化す…

(1+1/n)^nの極限公式 / 2016 京都大学・理系 第1問

問題 (1)について (2)について 他の公式について 問題 (1) を 2 以上の自然数とするとき,関数 の における最大値 を求めよ。(2) 極限 を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com (1)について …

10^10を2020で割った余り / 2020 一橋大学 第1問

(1)について 解法1:法は 20 と 101 解法2:法は 2020 (2)について 解法 1:法は 20 と 101 解法 2:法は 2020 問題 以下の問いに答えよ。(1) を 2020 で割った余りを求めよ。(2) 100 桁の正の整数で各位の数の和が 2 となるもののうち,2020 で割り切れるも…

三角関数の極限,sinθ/θの形 / 2020 京都大学・理系 第2問

問題 漸化式を立てる 漸化式の導き方2つ 偶数であることの証明 β の式に直して公式を使う 問題 を正の整数とする。, は に関する方程式 の 2 つの解で, であるとする。(1) すべての正の整数 に対し, は整数であり,さらに偶数であることを証明せよ。(2) 極…

三角方程式,tanθ=t / 2020 一橋大学 第2問

問題 tan を置換 別解釈での解答 問題 を定数とし, とする。 方程式 をみたす の個数を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com tan を置換 問題文には とありますが, が定義されない と が…