問題概略
マサルさんのテストの点数は ○○ 点でした。このテストは 1 問あたり 3 点か 4 点です。マサルさんは 3 点問題も 4 点問題も 1 問以上は解けていたそうです。
この話を聞いたトモエさんは「その点数だと，3 点問題と 4 点問題の正解数の組み合わせは 10 通り考えられるわね」とコメントしたそうです。
マサルさんの点数として考えられるもののうち，最も低いものを求めてください。テストは 100 点満点とは限りません。
http://www.sansu.org/used-html/index1039.html
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
1次不定方程式を解く
3 点問題が 問，4 点問題が
問解けて
点だったとします。
\begin{align*}
3x+4y=n
\end{align*}
これの一般解を求めます。上の式と を辺ごとに引くと
\begin{align*}
3(x+n)+4(y-n)=0
\end{align*}
3 と 4 は互いに素なので，一般解は次のようになります。 は整数です。
\begin{align*}
x+n=4k,\, y-n=-3k\quad \therefore x=4k-n,\, y=n-3k
\end{align*}
,
から
の範囲は
です。
これをみたす整数 が 10 個ある
の最小値が答えです。
から
と予想できて，あとはしらみつぶしです。
計算は省略しますが， のときは 8 個，
のときは 9 個，
のときは 10 個なので答えは「115 点」です。
ちなみに条件をみたす は 12 個ありました。
\begin{align*}
n=115,\, 118,\, 119,\, 121,\, 122,\, 123,\, 124,\, 125,\, 126,\, 128,\, 129,\, 132
\end{align*}
