1/60を単位分数の和に分解 /「算数にチャレンジ!!」第1119問

問題概略
解説

問題概略

$a$ , $b$ は $a\geqq b$ をみたす自然数で，次の方程式をみたします。

$\dfrac{1}{60}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

$a$ , $b$ の組は何通りあるでしょうか。
http://www.sansu.org/used-html/index1119.html

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解説

分母をはらった $ab=60(a+b)$ を「積＝一定」の形に直します。

$(a-60)(b-60)=3600=2^4\cdot 3^2\cdot 5^2$

3600 の約数は $4+1)(2+1)(2+1)=45$ 個です。

45 個の $a,\, b)$ のうち $a=b$ のものが 1 個あって，残り 44 個には $a>b$ のものと $a< b$ のものが同じ数だけ含まれています。

$a\geqq b$ のものは $1+\dfrac{45-1}{2}=23$ 個です。

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