問題概略 必要条件 十分条件 分母をはらって整理 重み付き相加・相乗平均の不等式 十分性の証明 問題概略 任意の正の実数 , , に対して次の不等式が成り立つような正の実数 をすべて求めよ。 https://artofproblemsolving.com/community/c6h1764789p11549921…

問題概略 斉次化して下準備 並び替え不等式 ムーアヘッドの不等式 問題概略 , , は正の実数であり をみたす。 次の不等式を証明せよ。https://artofproblemsolving.com/community/c6h1974293p13695125 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みた…

問題概略 最大クリーク問題に帰着させる 証明する 問題概略 が整数になるような正の整数の組 を「よい組」とよぶことにする。 1, 2, , 2021 からどの 2 数もよい組を作らないように数を選んでいくとき，最大で何個の数を選べるだろうか？https://artofproble…

問題概略 判別式をとる 平方完成する 問題概略 次の方程式の実数解をすべて求めよ。 https://artofproblemsolving.com/community/c6h2476049p20756123 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 判別式を…

問題概略 実験前の準備 小さな n で実験 問題概略 人の委員からなる委員会がある。どの 2 人の委員も友好関係または敵対関係にあり，どの委員もちょうど 3 人ずつと敵対関係にある。また，友人の敵は敵である。 として考えられる値をすべて求めよ。https://a…

問題概略 「積が一定」の形に直す VUQARとは？ 問題概略 , , , , は から選んだ相異なる数である。 次の方程式をみたす組をすべて求めよ。https://artofproblemsolving.com/community/c6h1084451p4785867 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読み…

問題概略 文字固定 a=3+A などの置換 どうやって作問した？ 問題概略 , , は 3 以上の実数である。次の不等式が成立することを示し，等号成立条件を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 文…

問題概略 最小値の見当をつける 214 を作れるか 問題概略 , , , , , , , , は 1 以上 9 以下の相異なる整数である。 の最小値を求めよ。https://artofproblemsolving.com/community/c6h467886p2619744 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みた…

問題概略 Fermat の小定理 漸化式を作る 2016 年のカナダの Mathematical Olympiad Qualification（予選？）の問題を解きました。 問題概略 (1) が 11 の倍数となるような正の整数 をすべて求めよ。(2) が 31 の倍数となるような正の整数 をすべて求めよ。ht…

2015 年のカナダの数オリ第 3 問を解いてみました。 On a square grid, a turtle can move between squares sharing a side. The turtle begins in a corner square of the grid and enters each square exactly once, ending in the square where she start…

2000 年に行われた第 1 回広中杯トライアル（中学生向け数学コンテストの予選）の問題を解きました。こういう問題です（表現は大幅に変えてあります）。 の桁数を ， の 桁数を として を求めよ。 を使うだろうことは見え見えで，さらに , が整数であること…

高校生用の問題選びをしていたら，偶然ある中学の入試問題の元ネタを見つけました。1987 年の AIME（American Invitational Mathematics Exam）の問題です。 縦 19，横 87 の長方形の中に AB と平行な線分 PQ を引いて面積を 4 等分したら，長方形の周も 4 …

授業で 2012 年の JMO 予選の問題を扱いました。 2 x 100 のマス目があり，各マスを赤または青で塗りつぶす。以下の２つの条件をともにみたすような塗り方は何通りあるか。ただし，回転や裏返しにより重なりあう塗り方も異なるものとして数える。 赤く塗られ…

正12角形の面積を求める問題をやりました。 問題1 1辺の長さが1の正12角形の面積を求めよ。 外接円を描き，その中心と各頂点を結び……とやりたくなるところですが，実は正方形と正三角形に分割できます。三角関数は使いません。 よくこんなの思いつくものだと…