直角条件→座標をとる / 2018 京都大学・文系第2問

問題
座標をとろう
(1)について
(2)について

問題

1 辺の長さが 1 の正方形 ABCD において，辺 BC 上に B とは異なる点 P を取り，線分 AP の垂直 2 等分線が辺 AB，辺 AD またはその延長と交わる点をそれぞれ Q，R とする。
(1)　線分 Q Rの長さを $\sin \angle\mathrm{BAP}$ を用いて表せ。
(2)　点 P が動くときの線分 QR の長さの最小値を求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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座標をとろう

AP の中点を M とおいて $\angle\mathrm{BAP}=\theta$ とおきます。
直交条件をいかすために座標をとりましょう。
私は最初左下のような図を描きましたが，右下のように描きなおしました。

f:id:variee:20211224012314p:plain

(1)について

$\mathrm{P}(1,\, \tan\theta)$ より $\mathrm{M}\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2}\tan\theta\right)$ です。直線 QR の方程式は次のようになります。

$y=-\frac{1}{\tan\theta}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\tan\theta$

$y=0$ とおいて Q の $x$ 座標 $x_{\mathrm{Q}}$ を求めます。

$x_{\mathrm{Q}}=\frac{1}{2}(1+\tan^2\theta)=\frac{1}{2\cos^2\theta}$

直線 QR の傾きと Q, R の $x$ 座標から QR の長さが求められます。
$\theta$ のまま計算を進めていって最後に $\angle\mathrm{BAP}$ に直します。

\begin{align*}
\mathrm{QR} &=\sqrt{1+\left(-\frac{1}{\tan\theta}\right)^2}\, |\, x_{\mathrm{Q}}-x_{\mathrm{R}}\, |\\
&=\sqrt{\frac{1}{\sin^2\theta}} \cdot \frac{1}{2\cos^2\theta}
=\frac{1}{2\sin\theta(1-\sin^2\theta)}\quad (\because \sin\theta>0)\\[3pt]
&=\frac{1}{2\sin\angle\mathrm{BAP}(1-\sin^2\angle\mathrm{BAP})}
\end{align*}