(連続11自然数の和)-13＝(連続13自然数の和)-11 /「算数にチャレンジ!!」第1096問

問題概略
解答
おまけ1：合同式を使って一般解を探す
おまけ2：一般化

問題概略

マサルさんとトモエさんが次のような計算をしました。

マサルさんは連続する 11 個の自然数の和を求めて 13 を引きました。

トモエさんは連続する 13 個の自然数の和を求めて 11 を引きました。

2 人の計算結果は同じだったそうです。
マサルさんが選んだ自然数のうち，最も小さいものを求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1096.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

解答

マサルさんが $x$ ～ $x+10$ を選んで，トモエさんが $y$ ～ $y+12$ を選んだとします。

\begin{align*}
&\frac{x+(x+10)}{2}\cdot 11-13=\frac{y+(y+12)}{2}\cdot 13-11\\
&\therefore 11x-13y=25\mbox{　……(1)}
\end{align*}

途中過程は省略しますが，これの一般解は $x=7+13k$ , $y=4+11k$ （ $k$ は整数）です。

自然数 $x$ の最小値は $k=0$ のときの「7」です。

おまけ1：合同式を使って一般解を探す

(1)を $\bmod\, 11$ や $\bmod\, 13$ で考えると特殊解がすぐにみつかります。

$\bmod\, 13$ でやってみましょう。 $11\equiv -2$ , $25\equiv -1$ より

$-2x\equiv -1\quad \therefore 2x\equiv 1$

両辺を 7 倍して $14\equiv 1$ を使うと $x\equiv 7$ になるので $x=7+13k$ （ $k$ は整数）です。

おまけ2：一般化

問題文で $11\to a$ , $13\to b$ と変えると次のようになります。

\begin{align*}
&\frac{x+(x+a-1)}{2}\cdot a-b=\frac{y+(y+b-1)}{2}\cdot b-a\\
&\Leftrightarrow ax-by=-\frac{1}{2}a(a+1)+\frac{1}{2}b(b+1)
%=\frac{1}{2}(b-a)(a+b+1)
\end{align*}

特殊解として $x=-\frac{1}{2}(a+1)$ , $y=-\frac{1}{2}(b+1)$ が見つかります。
$a$ と $b$ が互いに素だとすると一般解は次のようになります。