平野塾@吉祥寺

三角関数の極限，sinθ/θの形 / 2020 京都大学・理系第2問

大学入試（日本）京都大学

問題
漸化式を立てる
- 漸化式の導き方2つ
- 偶数であることの証明
β の式に直して公式を使う

問題

$p$ を正の整数とする。 $\alpha$ , $\beta$ は $x$ に関する方程式 $x^2-2px-1=0$ の 2 つの解で， $|\alpha|>1$ であるとする。
(1)　すべての正の整数 $n$ に対し， $\alpha^n+\beta^n$ は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ。
(2)　極限 $\displaystyle\lim_{n\to \infty} (-\alpha)^n\sin (\alpha^n \pi)$ を求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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漸化式を立てる

漸化式の導き方2つ

(1)は $f_n=\alpha^n+\beta^n$ の漸化式を使って証明します。漸化式は特性方程式を使うと楽に導けます。

$\alpha$ は $x^2-2px-1=0$ の解なので $\alpha^2-2p\alpha-1=0$ をみたします。これに $\alpha^n$ をかけます。

$\alpha^{n+2}-2p\alpha^{n+1}-\alpha^n=0$

同様に $\beta^{n+2}-2p\beta^{n+1}-\beta^n=0$ が成立して，これらを足すと $f_n$ の漸化式になります。

$f_{n+2}-2pf_{n+1}-f_n=0\quad \therefore f_{n+2}=2pf_{n+1}+f_n\mbox{　……(A)}$

他に恒等式を使う方法もあります。
$f_n=\alpha^n+\beta^n$ をもとに $f_{n+1}=\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}$ を作れと言われたら $f_n$ に $\alpha+\beta$ をかけるのが自然でしょう。これで生じた余計な項を $f_{\square}$ の形の項であらわします。

$(\alpha^n+\beta^n)(\alpha+\beta)-(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}) =\alpha^n\beta+\alpha\beta^n$
$=\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$

解と係数の関係 $\alpha+\beta=2p$ , $alpha\beta=-1\mbox{　……(B)}$ を使って整理するとできあがりです。

$f_n\cdot 2p-f_{n+1}=-f_{n-1}\quad \therefore f_{n+1}=2pf_n+f_{n-1}$

偶数であることの証明

証明に入りましょう。まず(B)を使って $f_1$ と $f_2$ を求めます。

$f_1=\alpha+\beta=2p$
$f_{2}=\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4p^2\mbox{　……(C)}$

$f_1$ と $f_2$ は整数で漸化式の係数はすべて整数なので $f_n=\alpha^n+\beta^n$ はすべて整数です。

以下， $\bmod\, 2$ で考えます。(A)(C)より

$f_1\equiv f_2\equiv 0,\, f_{n+2}\equiv f_n\pmod{2}$

$f_n\equiv 0\pmod{2}$ がすべての $n$ に対して成立して $f_n$ はすべて偶数です。証明終。

β の式に直して公式を使う

(2)は(1)を利用するはずです。
$f_n \pi$ が $\pi$ の偶数倍だということを使って $beta$ の式に直します。

$\alpha^n=f_n-\beta^n$ から

$\sin (\alpha^n \pi)=\sin (f_n \pi-\beta^n \pi)$
$=-\sin(\beta^n \pi )\quad (\because \text{$f_n$は偶数})$

$\alpha\beta=-1$ を使うと $\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ の形を作れます。
$-\alpha=\frac{1}{\beta}$ から

$(-\alpha)^n\sin (\alpha^n \pi)=\left(\frac{1}{\beta}\right)^n \left\{-\sin(\beta^n \pi )\right\}$

$=-\dfrac{\sin(\beta^n \pi )}{\beta^n \pi }\cdot \pi\mbox{　……(D)}$

あとは $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \beta^n \pi =0\mbox{　……(E)}$ が言えれば $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ が使えます。

これは $|\alpha|>1$ と $\alpha\beta=-1$ から簡単に示せます。

$0<|\beta|=\frac{1}{|\alpha|}<1$

$n\to \infty$ で $|\beta^n|=|\beta|^n \to 0$ なので(E)が言えます。
(D)(E)より求める極限は $-1\cdot \pi=-\pi$ です。

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