等差数列中の素数 /「算数にチャレンジ!!」第1133問

4 つの自然数 $a$ , $b$ , 63, $c$ はこの順に等差数列をなしていて， $a$ が最小です。
また， $a$ , $b$ , $c$ はすべて素数です。 $c$ を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1133.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

4 つの数を「 $a$ , $b$ , 63」と「 $b$ , 63, $c$ 」にわけて考えます。
これらは等差数列です。

$a+63=2b,\, b+c=2\cdot 63$
$\therefore a=189-2c,\, b=126-c$

$2\leqq a< b< 63< c$ から $64\leqq c\leqq 93$ が言えて，素数 $c$ の候補は 67, 71, 73, 79, 83, 89 の 6 個にしぼられます。

あとはしらみつぶしです。
$(a,\, b,\, c)$ を書き下して $a$ , $b$ が素数かどうか調べます。

$(\underline{55},\, 59, 67),\, (47,\, \underline{55},\, 71),\, (43,\, 53,\, 73),$
$(31,\, 47,\, 79),\, (23,\, 43,\, 83),\, (11,\, 37,\, 89)$

下線を引いた 55 以外は素数なので条件をみたす $c$ は次の 4 個です。