平野塾@吉祥寺

循環小数の方程式 /「算数にチャレンジ!!」第1152問

算数にチャレンジ!!

問題概略
循環小数を分数に直す
あえて 10a+b を使わずに解く

問題概略

次のような循環小数 $x$ , $y$ があります。
$x=0.ababab\cdots,\, y=0.bababa\cdots$
$x$ と $y$ の間には $495x=99y+200$ が成り立ちます。
2 桁の整数 $ab$ を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1152.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

循環小数を分数に直す

まず循環小数を分数に直します。100 倍して元の数と引いて…とすると

$x=\frac{10a+b}{99},\, y=\frac{10b+a}{99}$

$495x=99y+200$ に代入して整理。

$49a-5b=200$

$a$ は 1 以上 9 以下かつ 5 の倍数なので $a=5$ 。
$b=9$ もわかって，答えは「 $10a+b=59$ 」です。

あえて 10a+b を使わずに解く

$x$ , $y$ の循環節の長さは 2 なので， $99=10^2-1$ 倍した値は循環小数を分数に直したときの分子です。

$x=\frac{X}{99}$ , $y=\frac{Y}{99}$ とおいて条件式に代入します。
$x$ , $y$ の係数は 99 の倍数なのできれいな形になります。

$5X=Y+200$

これをみたす $X$ , $Y$ を探します。あえて $X=10a+b$ を使わずに解いてみましょう。

$Y$ は 5 の倍数なので 1 の位は 0 か 5 で $X$ の 10 の位はそれぞれ 5 か 0。
$X$ は 2 桁なので $X$ の 10 の位も $Y$ の 1 の位も 5 です。

$Y+200$ の範囲は $5X$ の範囲と同じです。

$5\cdot 50\leqq Y+200\leqq 5\cdot 59 \quad\therefore 50\leqq Y\leqq 95$

$Y$ の 1 の位は 5 なので $Y$ の候補は 55, 65, 75, 85, 95。10 の位と 1 の位を入れ替えると

$(X,\, Y)=(55,\, 55),\, (56,\, 65),\, (57,\, 75),\, (58,\, 85),\, (59,\, 95)$

$5X=Y+200$ をみたすのは $(X,\, Y)=(59,\, 95)$ だけです。答えは $X=59$ 。

variee.hatenablog.com