ルートを含む不等式，三角関数で置換 / 2015 大阪大学第2問

問題
三角関数で置換
- 倍角公式
- 技巧的な変形
類題と図形的意味

問題

実数 $x$ , $y$ が $|x|\leqq 1$ と $|y|\leqq 1$ をみたすとき，不等式

$0\leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\leqq 1$

が成り立つことを示せ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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三角関数で置換

倍角公式

$x=\cos\alpha,\, y=\cos\beta\quad (0\leqq\alpha\leqq \pi,\, 0\leqq\beta\leqq \pi)$ とおきます。

\begin{align*}
\sqrt{1-x^2} &=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{\sin^2\alpha}\\
&=|\sin\alpha|=\sin\alpha\\
\sqrt{1-y^2}&=\sin\beta
\end{align*}

示すべき不等式の中辺を $P$ とおきます。これは倍角公式が使える形をしています。

\begin{align*}
P&=\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos^2\alpha\cos^2\beta
+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\mbox{　……(1)}\\
&=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}+\frac{1+\cos 2\beta}{2}
-2\cdot\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\cdot\frac{1+\cos 2\beta}{2}
+\frac{1}{2}\sin 2\alpha \sin 2\beta\\
&=\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha\cos 2\beta+\sin 2\alpha \sin 2\beta)=\frac{1}{2}\left\{1-\cos(2\alpha+2\beta)\right\}
\end{align*}

$0\leqq 2(\alpha+\beta)\leqq 4\pi$ より $0\leqq P\leqq 1$ です。証明終わり。

技巧的な変形

(1)の $2\cos^2\alpha\cos^2\beta$ を 2 つにわけて，1 つずつ $\cos^2\alpha$ , $\cos^2\beta$ とペアにしてもうまくいきます。

\begin{align*}
P&=\cos^2\alpha(1-\cos^2\beta)+\cos^2\beta(1-\cos^2\alpha)
+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\\
&=\cos^2\alpha\sin^2\beta+\cos^2\beta\sin^2\alpha
+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\\
&=(\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha)^2=\sin^2 (\alpha+\beta)
\end{align*}

$0\leqq \alpha+\beta\leqq 2\pi$ より $0\leqq P\leqq 1$ です。証明終わり。

類題と図形的意味

類題が 1991 に京大理系後期の第 3 問として出題されています。

空間に原点を始点とする長さ1のベクトル $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ がある。
$\vec{a}$ , $\vec{b}$ のなす角を $\gamma$ ， $\vec{b}$ , $\vec{c}$ のなす角を $\alpha$ ， $\vec{c}$ , $\vec{a}$ のなす角を $\beta$ とするとき，つぎの関係の成立することを示せ。
またここで等号の成立するのはどのような場合か。
$0\leqq \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqq 1$

この不等式の中辺を $Q$ とおきます。
$\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ が作る平行六面体の体積を $V$ とすると
$V=\sqrt{1-Q}$ が言えて*1 $Q=1-V^2$ です。

各辺の長さが 1 なので体積 $V$ の最大値は $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ が互いに直交するときの 1 です。
このとき $Q$ は最小値 0 をとります。

$V$ の最小値は平行六面体がつぶれるとき，つまり $\vec{a}$ , $vec{b}$ , $\vec{c}$ が同一平面上にあるときの 0 です。
このとき $Q$ は最大値 1 をとります。

「3 次元の問題で体積なら，2 次元（2 変数）の問題は面積のはず」と考えたらうまく解けました。

$\vec{OA}=\vec{a}=(x,\, \sqrt{1-x^2})$ , $\vec{OB}=\vec{b}=(y,\, -\sqrt{1-y^2})$ とおきます。

\begin{align*}
&|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2\\
&=1-(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})^2\\
&=1-x^2y^2-(1-x^2)(1-y^2)+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\\
&=x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}=P
\end{align*}

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積を $S$ とします。