小数第2位を四捨五入して5を足すと3倍になる /「算数にチャレンジ!!」第1140問

問題概略
ガウス記号を使う
不等式で評価
mathematicaで解くなら

問題概略

正の有理数 $x$ （整数でない）があります。
$x$ を 4 で割り，小数第 2 位を四捨五入してから 5 を加えると $x$ のちょうど 3 倍になりました。
もとの有理数 $x$ を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1140.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

ガウス記号を使う

小数第 2 位を相手にするのは面倒なので 10 倍して考えます。問題設定はこうなります。

正の有理数 $10x$ （整数でもよい）を 4 で割り，小数第 1 位を四捨五入してから 50 を加えると $10x$ のちょうど 3 倍になる。

四捨五入した後の数は $\lfloor\frac{10}{4}x\rfloor$ または $\lfloor\frac{10}{4}x\rfloor+1$ なので，次のどちらかが成立します。

$\lfloor\frac{10}{4}x\rfloor+50=30x$ または $\lfloor\frac{10}{4}x\rfloor+1+50=30x$

左辺は整数なので右辺も整数。 $n$ を整数として $30x=n$ とおくと $x=\frac{n}{30}$ です。

$\lfloor\frac{10}{4}x\rfloor=\lfloor\frac{n}{12}\rfloor$ を使って上の式を $n$ で書き直しましょう。

$\lfloor\frac{n}{12}\rfloor=n-50\mbox{　……(1)}$ または $\lfloor\frac{n}{12}\rfloor=n-51\mbox{　……(2)}$

$n$ を 12 で割ったときの商と余りを $m$ , $r$ とおきます。 $n=12m+r$ と $0\leqq r\leqq 11$ から

$\lfloor\frac{n}{12}\rfloor=\lfloor m+\frac{r}{12}\rfloor=m\mbox{　……(3)}$

(1)の四捨五入は切り捨てなので $0\leqq r< 6\mbox{　……(4)}$ です。(1)(3)より

$m=12m+r-50\Leftrightarrow 11m+r=50$

これの解は $(m,\, r)=(4,\, 6)$ ですが，(4)をみたさないので不適。

(2)の四捨五入は切り上げなので $6\leqq r\leqq 11\mbox{　……(5)}$ です。(2)(3)より

$m=12m+r-51\Leftrightarrow 11m+r=51$

$(m,\, r)=(4,\, 7)$ になり，これは(5)をみたします。 $n=12m+r=55$ なので

$x=\frac{n}{30}=\frac{11}{6}$

不等式で評価

小数第 2 位を四捨五入した数は $3x-5$ で，これは小数第 1 位までの数なので 10 倍すると整数になります。
$10(3x-5)=30x-50$ は整数です。 $30x=n$ （ $n$ は整数）とおけます。

$x=\frac{n}{30}$ なので $x=\frac{q}{p}$ （ $p$ , $q$ は互いに素な自然数）とおくと $p$ は 30 の約数です。
ただし $x$ は整数ではないので $p\ne 1$ です。

$p=2,\, 3,\, 5,\, 6,\, 10,\, 15,\, 30\mbox{　……(6)}$

さて， $3x-5$ は $\frac{x}{4}$ の小数第 2 位を四捨五入した数でした。

四捨五入で最も小さくなるのは $0.049\cdots$ を切り捨てるときで，最も大きくなるのは $0.05$ を切り上げるときです。

$\frac{x}{4}-\frac{1}{20}< 3x-5\leqq \frac{x}{4}-\frac{1}{20}+\frac{1}{10} \Leftrightarrow \frac{9}{5}< x\leqq \frac{101}{55}$

$\therefore 1.8< x< 1.836\cdots$

これを $1+0.8< x< 1+0.83\cdots$ と考えて(6)をみたす $x=\frac{q}{p}$ を探すと $x=1+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}$ しかありません。これが答えです。

mathematicaで解くなら

「mathematica，四捨五入」で検索すると Round という関数がヒットしますが，これは文字通り丸め用の関数で， $1/2$ に対して 0 を返します。この問題には使えません。

FractionalPart で小数部分を取り出して，それが $1/2$ より大きいかどうかを Boole で処理しました。
他のプログラミング言語でも $x-\lfloor x\rfloor$ と $1/2$ の大小比較が必要だと思います。

    In[]:= AbsoluteTiming[
        eqn = {Floor[10 x/4] + 50 + 
            Boole[FractionalPart[10 x/4] >= 0.5] == 30 x, x > 0};
        ans = x /. Solve[eqn, x]]

    Out[]= {0.0174566, {11/6}}

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