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三角方程式，tanθ=t / 2020 一橋大学 第2問

大学入試（日本） 一橋大学

問題

a を定数とし， 0\leqq \theta < \pi とする。
方程式 \tan 2\theta+a\tan\theta=0 をみたす \theta の個数を求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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tan を置換

問題文には 0\leqq \theta < \pi とありますが， \tan \theta が定義されない \theta=\frac{\pi}{2} と \tan 2\theta が定義されない \theta=\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi を除いて考えます。

0\leqq \theta < \frac{\pi}{4},\, \frac{\pi}{4}< \theta< \frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}< \theta< \frac{3}{4}\pi,\, \frac{3}{4}\pi< \theta<\pi\mbox{　……(1)}

\tan \theta=t とおくと t の変域は \pm 1 以外のすべての実数で， t と \theta の対応は一対一です。
\tan 2\theta=\frac{2t}{1-t^2} から与式は次のように書き直せます。

\begin{align*}
\frac{2t}{1-t^2}+at=0 &\Leftrightarrow 2t+at(1-t^2)=0\\
&\Leftrightarrow t(a+2-at^2)=0\\
&\Leftrightarrow t=0\mbox{　……(2)}\ \text{または}\ at^2=a+2\mbox{　……(3)}
\end{align*}

t=\pm 1 はこれらをみたさないので \theta の個数は次のようにして求められます。

(\text{(2)をみたす$\theta$の個数})+(\text{(3)をみたす$\theta$の個数})-(\text{(2)(3)を同時にみたす$\theta$の個数})

計算に戻りましょう。

（ア） a=0 のとき(3)は成立しません。(2)より \theta=0 なので与式をみたす \theta は 1 個です。

（イ） a=-2 のとき(3)は t^2=0 になって(2)と同値です。（ア）と同様に \theta は 1 個。

（ウ） a\ne 0,\, -2 のとき(3)は t^2=\frac{a+2}{a} になります。

(a)　 \frac{a+2}{a}< 0 つまり -2< a< 0 のとき(3)をみたす \theta は存在しません。与式をみたす \theta は 1 個です。

(b)　 \frac{a+2}{a}>0 つまり a< -2,\, 0< a のとき(3)をみたす \theta は 2 個で，どちらも 0 ではありません。(2)から得られる \theta=0 とあわせて与式をみたす \theta は 2+1=3 個です。

一旦，表にまとめます。

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\theta の個数は 1 個か 3 個です。

  • -2\leqq a\leqq 0 のとき 1 個
  • a< -2,\, 0< a のとき 3 個

別解釈での解答

a=0 のとき与式は \tan 2\theta=0\mbox{　……(4)} になります。

0\leqq \theta < \pi から \tan 2\theta が定義されない \theta=\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi を除いた範囲でこれを解くと
\theta=0,\, \frac{\pi}{2} になります。

(4)は \tan\theta を含まないので \theta=\frac{\pi}{2} も解になることに注意してください。
(2)の \theta=0 とあわせて与式をみたす \theta は 2 個です。

式中に \tan\theta とある以上， \theta=\frac{\pi}{2} を除いて考えるのが自然ですが，問題文をこのように解釈すると解は次のようになります。

  • -2\leqq a< 0 のとき 1 個
  • a=0 のとき 2 個
  • a< -2,\, 0< a のとき 3 個


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