10の位が偶数の平方数 /「算数にチャレンジ!!」第971問

$4\times 4,\, 5\times 5,\, \cdots,\, 99\times 99$ のうち 10 の位が偶数となるものは何個あるか求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index971.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

$n=10a+b$ （ $a$ ， $b$ は 0 以上 9 以下の整数）とおきます。

$n^2=(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$

$100a^2$ の 10 の位は 0。 $20ab$ の 10 の位は $2ab$ の 1 の位と同じで偶数。
よって $n^2$ の 10 の位が偶数になる条件は「 $b^2$ の 10 の位が偶数になること」です。
実際に計算してみましょう。

\begin{align*}
&0^2=00,\, 1^2=01,\, 2^2=04,\, 3^2=09,\, \fbox{$4^2=16$},\\
&5^2=25,\, \fbox{$6^2=36$},\, 7^2=49,\, 8^2=64,\, 9^2=81
\end{align*}

$b=4,\, 6$ の数は不適です。
$4\leqq n\leqq 99$ をみたす数は $99-4+1=96$ 個で，この範囲に $b=4,\, 6$ の数が 10 個ずつ計 20 個あるので答えは $96-20=76$ 個です。