重み付き相加・相乗平均の不等式 / 2018 トルコジュニア

問題概略
必要条件
十分条件

問題概略

任意の正の実数 $x$ , $y$ , $z$ に対して次の不等式が成り立つような正の実数 $c$ をすべて求めよ。

$\dfrac{x^3y+y^3z+z^3x}{x+y+z}+\dfrac{4c}{xyz}\geqq 2c+2$

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1764789p11549921

トルコのジュニア数学オリンピックの問題です。「任意の～」をまともに相手にするのは面倒なので必要条件と十分条件にわけて考えます。
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

必要条件

まずは実験です。 $x=y=z$ の場合を考えます。

$x^3+\frac{4c}{x^3}\geqq 2c+2$

相加相乗で左辺の最小値を求めます。

$x^3+\frac{4c}{x^3}\geqq 2\sqrt{x^3\cdot \frac{4c}{x^3}}=4\sqrt{c}$

等号は $x=(4c)^{\frac{1}{6}}$ のとき成立するので最小値は $4\sqrt{c}$ です。

これが $2c+2$ 以上であることが必要です。 $\sqrt{c}=d\, (>0)$ とおいて整理します。

$4d\geqq 2d^2+2\Leftrightarrow (d-1)^2\leqq 0$

$d=1$ より $c=1$ が必要だとわかりました。

十分条件

分母をはらって整理

$c=1$ のとき与式は次のようになります。

$\dfrac{x^3y+y^3z+z^3x}{x+y+z}+\dfrac{4}{xyz}\geqq 4\mbox{　……(1)}$

相加相乗が使えそうな形ですよね。

$\text{(左辺)}\geqq 2\sqrt{\dfrac{x^3y+y^3z+z^3x}{x+y+z}\cdot\dfrac{4}{xyz}} =4\sqrt{\dfrac{x^3y+y^3z+z^3x}{(x+y+z)xyz}}$

$\sqrt{}$ の中身が 1 以上であることを証明すれば，十分性の証明になります。

分母をはらって整理しておきます。

\begin{align*}
&\frac{x^3y+y^3z+z^3x}{(x+y+z)xyz}\geqq 1\\[6pt]
&\Leftrightarrow x^3y+y^3z+z^3x\geqq (x+y+z)xyz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\mbox{　……(2)}
\end{align*}