曲線の長さ / 2021 京都大学・理系第4問

問題
公式を使って計算
微分の前に倍角公式

問題

曲線 $y=\log(1+\cos x)$ の $0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}$ の部分の長さを求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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公式を使って計算

$y=\log(1+\cos x)$ のとき $y'=\frac{-\sin x}{1+\cos x}$ より

\begin{align*}
1+(y')^2 &=1+\frac{\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}=\frac{2(1+\cos x)}{(1+\cos x)^2}\\
&=\frac{2}{1+\cos x}=\frac{2}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}
\end{align*}

求める長さを $L$ とおきます。

$L=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\left| \cos\frac{x}{2}\right|} =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\cos\frac{x}{2}}$

$\frac{x}{2}=t$ と置換します。
$x=2t$ より $dx=2dt$ で，積分区間は $0\to \frac{\pi}{4}$ になります。

$L=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2dt}{\cos t}=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{\cos^2 t}dt =2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{1-\sin^2 t}dt$

$\sin t=u$ と置換します。 $\cos t\, dt=du$ で，積分区間は $0\to \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

\begin{align*}
L&=2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{du}{1-u^2}
=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)du\\
&=\Big[-\log|1-u|+\log|1+u|\Big]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}
=\left[\log\left|\frac{1+u}{1-u}\right|\right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\
&=\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\
&=\log(\sqrt{2}+1)^2=\mathbf{2\log(\sqrt{2}+1)}
\end{align*}

微分の前に倍角公式

$y$ を微分する前に倍角公式を使うと $\sqrt{1+(y')^2}$ の計算が少し楽になります。

$y=\log \left(2\cos^2\frac{x}{2}\right)=\log 2+2\log\left|\cos\frac{x}{2}\right|$ より

\begin{align*}
&y'=2\cdot\frac{-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}=-\tan\frac{x}{2}\\
&\therefore \sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{1+\tan^2\frac{x}{2}}
=\sqrt{\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}}=\frac{1}{\left|\cos\frac{x}{2}\right|}
\end{align*}

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