25桁の数を2数の積に分解する /「算数にチャレンジ!!」第1126問

問題概略
mathematicaで素因数分解
多項式の因数分解

問題概略

25 桁の自然数 $n=1010101010101010101010101$ を $n=ab$ のように 2 つの自然数 $a$ , $b$ の積に分解します。 $a$ は 13 桁で $b$ は 12 桁です。 $b$ を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1126.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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mathematicaで素因数分解

まずは mathematica で素因数分解しました。

  In[]:= AbsoluteTiming[
    n = 1010101010101010101010101;
    lst = {#, n/#} & /@ Divisors@n;
    ans = Last /@ Select[lst, IntegerLength /@ # == {13, 12} &]]
   
  Out[]= {0.0008863, {909090909091, 227954249927}}

$n=53 \times 79 \times 859 \times 265371653 \times 1058313049$

$n$ の約数 $d$ は全部で $(1+1)^5=32$ 個。 $(d,\, n/d)$ がそれぞれ 13 桁，12 桁になる組を探しました。

  In[]:= AbsoluteTiming[
    n = 1010101010101010101010101;
    lst = {#, n/#} & /@ Divisors@n;
    ans = Last /@ Select[lst, IntegerLength /@ # == {13, 12} &]]
   
  Out[]= {0.0008863, {909090909091, 227954249927}}

条件をみたす $b$ は 2 つあります。太字の数が $b$ です。

$n=4431156736163\times \mathbf{227954249927}$
$=1111111111111\times \mathbf{909090909091}$

多項式の因数分解

手計算で解くなら $x=10$ とおいて因数分解でしょう。 $n$ は $x$ の 24 次式になります。

\begin{align*}
n&=1+x^2+x^4+\cdots+x^{24}=1\cdot \frac{(x^2)^{13}-1}{x^2-1}=\frac{(x^{13})^2-1}{x^2-1}\\
&=\frac{(x^{13}-1)(x^{13}+1)}{(x-1)(x+1)}\\
&=(x^{12}+x^{11}+\cdots+x+1)(x^{12}-x^{11}+\cdots-x+1)
\end{align*}

$x=10$ を代入すると $n=1111111111111\times \mathbf{909090909091}$ になります。
もう一つの $b=22\cdots$ を手計算で導くには 32 個の $d$ をシラミツブシするしかなさそうですが，どうなんでしょうか？