3つのサイコロの目の積の確率 / 2018 一橋大学第3問

問題概略
「目の集合→目の出方」の順に数える
- (1)について
- (2)について
  - {x, y, z} 型で 1 通りのとき
  - {x, x, y} 型で 2 通りのとき
おまけ：プログラムを組んで計算

問題概略

3 個のさいころを投げる。
(1)　出た目の積が 6 となる確率を求めよ。

(2)　出た目の積が $k$ となる確率が $\frac{1}{36}$ であるような $k$ をすべて求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

「目の集合→目の出方」の順に数える

すべてのサイコロを区別します。
目の出方は全部で $6^3=216$ 通で，これらは同様に確からしいです。

(1)について

積が 6 になる目の集合は $1,\, 1,\, 6\}$ , $\{1,\, 2,\, 3\}$ の 2 つ。
どのサイコロがどの目を出すかを考えると，目の出方は $3+3!=9$ 通りです。求める確率は

$\frac{9}{216}=\frac{1}{24}$

(2)について

基本的には(1)と同様で，「目の集合→目の出方」の順に数えますが，最初は逆算が必要です。

$\frac{1}{36}=\frac{6}{216}$ より目の出方は 6 通り。

$x$ , $y$ , $z$ を相異なる数とします。目の集合は
$\{x,\, y,\, z\}$ , $\{x,\, x,\, y\}$ , $x,\, x,\, x\}$
の 3 パターンあって，それぞれ $3!=6$ , 3, 1 通りの目の出方を与えます。

6 は $3+1+1+1$ や $\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{6個}}$ という分割もできますが，ある数が立方数 $x^3$ として 2 通り以上にあらわせることはないので，目の出方が 6 通りになるのは次のどちらかのときです。

$\{x,\, y,\, z\}$ 型で 1 通りにあらわせる
$\{x,\, x,\, y\}$ 型で 2 通りにあらわせる

{x, y, z} 型で 1 通りのとき

$\{x,\, y,\, z\}$ 型は ${}_6\mathrm{C}_3=20$ 通りしかありません。全部書いて $k=xyz$ のダブリをチェックします。

f:id:variee:20211119205101p:plain

f:id:variee:20211119205112p:plain

$k=10,\, 15,\, 40,\, 90,\, 120$ は条件をみたします。

{x, x, y} 型で 2 通りのとき

$\{x,\, x,\, y\}$ 型は $6^2=36$ 通りあります。これも全部書いて $k=x^2y$ のダブリをチェックします。

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$k=4,\, 16$ は 2 通りにあらわせますが，他はダメです。

以上まとめて
$k=4,\, 10,\, 15,\, 16,\, 40,\, 90,\, 120$

おまけ：プログラムを組んで計算

プログラミングありだったら(2)は楽勝ですね。
$i$ , $j$ , $k$ で 3 重にループさせて $ijk$ の登場回数を調べるだけです。

mathematica は関数型言語でループ処理は苦手なのですが，それでも 0.0006 秒でした。

    In[]:= AbsoluteTiming[
        a = ConstantArray[0, 6^3];
        For[i = 1, i <= 6, i++,
         For[j = 1, j <= 6, j++,
          For[k = 1, k <= 6, k++,
           a[[i*j*k]]++]]];
        ans = Last@Reap@Do[If[a[[i]] == 6, Sow@i], {i, 1, 6^3}]]
       
    Out[]= {0.0006358, {{4, 10, 15, 16, 40, 90, 120}}}

関数型言語らしく書くと 0.0002 秒で答えが出ます。

    In[]:= AbsoluteTiming[
        lst = Tuples[Range@6, 3];
        ans = First /@ Select[Tally[Times @@ # & /@ lst], Last@# == 6 &]]
       
    Out[]= {0.0002293, {4, 10, 15, 16, 40, 90, 120}}

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