4次方程式の解，二重根号 / 2015名古屋大学・文系第3問

問題概略
(1)(2)は計算あるのみ
(3)が本題です
(3)の補足
- 4 次方程式の解と係数の関係を使おう
- 候補はしぼりこめる

問題概略

次の問に答えよ。

(1)　 $(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}})^2$ を計算し，2 重根号を用いない形で表せ。

(2)　 $\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}$ とするとき，
整数係数の 4 次多項式 $f(x)$ で $f(\alpha)=0$ となるもののうち，
$x^4$ の係数が 1 であるものを求めよ。

(3)　8 つの実数 $\pm\sqrt{13}\pm \sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm\sqrt{9-2\sqrt{17}}$
（ただし，複号 $\pm$ はすべての可能性にわたる）の中で，
(2)で求めた $f(x)$ に対して方程式 $f(x)=0$ の解となるものをすべて求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

(1)(2)は計算あるのみ

(1)は計算するだけですが，同じ式を何度も書くのは嫌なのでカタマリを文字でおきます。

$p=\sqrt{9+2\sqrt{17}}$ , $q=\sqrt{9-2\sqrt{17}}$ とおきます。
対称性を意識して変形しましょう。

$p^2+q^2=(9+2\sqrt{17})+(9-2\sqrt{17})=18$
$pq=\sqrt{81-(2\sqrt{17})^2}=\sqrt{13}$
$\therefore (p+q)^2=p^2+q^2+2pq=18+2\sqrt{13}$

(2)は 2 回平方してルートを消します。まず $\alpha-\sqrt{13}=p+q$ を平方。

\begin{align*}
&(\alpha-\sqrt{13})^2=(p+q)^2=18+2\sqrt{13}\mbox{　……(A)}\\
&\Leftrightarrow \alpha^2-2\sqrt{13}\alpha+13=18+2\sqrt{13}\\
&\Leftrightarrow \alpha^2-5=2\sqrt{13}(\alpha+1)
\end{align*}

もう 1 回平方します。

$(\alpha^2-5)^2=52(\alpha+1)^2 \Leftrightarrow \alpha^4-62\alpha^2-104\alpha-27=0$

$\alpha$ を $x$ で置き換えてできあがりです。

$f(x)=x^4-62x^2-104x-27$

(3)が本題です

(3)に入ります。
$\alpha=\sqrt{13}+p+q$ が解であることと(2)}の計算を考えると
$\sqrt{13}-p-q$ も解だということは比較的簡単に見抜けると思います。

$\beta=\sqrt{13}-p-q$ とおくと $\beta-\sqrt{13}=-p-q$ から

$(\beta-\sqrt{13})^2=(p+q)^2$

これは(A)と同じ形なので $f(\beta)=0$ が成立します。
$\beta$ も $f(x)=0$ の解です。

2 つの解がわかったので $f(x)$ を因数分解できます。
解と係数の関係を使いましょう。

\begin{align*}
&\alpha+\beta=2\sqrt{13}\\
&\alpha\beta=(\sqrt{13})^2-(p+q)^2=13-(18+2\sqrt{13})=-2\sqrt{13}-5
\end{align*}

$\alpha$ , $\beta$ は $x^2-2\sqrt{13}x-2\sqrt{13}-5=0$ の解です。
この左辺で $f(x)$ を割ります。

$f(x)=(x^2-2\sqrt{13}x-2\sqrt{13}-5)(x^2+2\sqrt{13}x+2\sqrt{13}-5)$

$\alpha$ , $\beta$ 以外の解を $\gamma$ , $\delta$ とおきます。これらは
$x^2+2\sqrt{13}x+2\sqrt{13}-5=0\mbox{　……(B)}$ の解です。

解の公式を使って解くと

$x=-\sqrt{13}\pm\sqrt{18-2\sqrt{13}}\mbox{　……(C)}$

$18-2\sqrt{13}$ が(1)の答えと似ていることに注目しましょう。

$(p-q)^2=p^2+q^2-2pq=18-2\sqrt{13}$

(C)の二重根号は次のように変形できます。

$\sqrt{18-2\sqrt{13}}=\sqrt{(p-q)^2}=|\, p-q\,|=p-q$

(C)は $x=-\sqrt{13}\pm(p-q)$ となります。これが $\gamma$ , $\delta$ です。

$f(x)=0$ の解は次の 4 つです。 $p$ , $q$ のまま書きます。

$x=\sqrt{13}+p+q,\, \sqrt{13}-p-q,\, -\sqrt{13}+p-q,\, -\sqrt{13}-p+q$

(3)の補足

4 次方程式の解と係数の関係を使おう

$f(x)$ を因数分解するときに 4 次方程式の解と係数の関係が使えます。

$f(x)$ の係数から

$\alpha+\beta+\gamma+\delta=0,\, \alpha\beta\gamma\delta=-27$

$\alpha+\beta=2\sqrt{13}$ , $\alpha\beta=-2\sqrt{13}-5$ を使うと $\gamma$ , $\delta$ の和と積がわかります。

$\gamma+\delta=-2\sqrt{13},\, \gamma\delta=\frac{27}{2\sqrt{13}+5}=2\sqrt{13}-5$

2 次方程式の解と係数の関係から $\gamma$ , $\delta$ は $x^2+2\sqrt{13}x+2\sqrt{13}-5=0$ の解です。

候補はしぼりこめる

与えられた 8 つの値のうち $\alpha$ , $beta$ でないものは次の 6 個です。

\begin{align*}
&x_1=\sqrt{13}+p-q,\, x_2=\sqrt{13}-p+q\\
&x_3=-\sqrt{13}+p+q,\, x_4=-\sqrt{13}+p-q\\
&x_5=-\sqrt{13}-p+q,\, x_6=-\sqrt{13}-p-q
\end{align*}

$\gamma+\delta=-2\sqrt{13}$ をみたす組は
$\{\gamma,\, \delta\}=\{x_3,\, x_6\},\, \{x_4,\, x_5\}$
しかありません。