平野塾@吉祥寺

おもに数学について書きます

覆面算 /「算数にチャレンジ!!」第1101問

算数にチャレンジ!! 整数

問題概略

4 桁の整数 $n=abcd$ （ $a$ , $b$ , $c$ , $d$ は桁数字。以下同様）は
$5(abcd+7000)=ab7cd$ をみたします。
$n$ を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index11101.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

方程式で一気に解く

$n$ の上 2 桁を $x$ とおいて，下 2 桁を $y$ とおきます。
$x=10a+b$ , $y=10c+d$ で $n=100x+y$ です。

$5(abcd+7000)=ab7cd$ より

$5(100x+y+7000)=1000x+700+y\quad \therefore y+8575=125x\mbox{　……(1)}$

$\bmod\, 125$ で考えると $y+75\equiv 0$ より $y\equiv -75\equiv 50$ 。

$y$ は 2 桁なので $y=50$ で，(1)から $x=69$ もわかります。

$\therefore n=100x+y=\mathbf{6950}$

覆面算っぽく一桁ごとに求める

$5\times 7000=35000$ をたしても下 3 桁は変化しないことに注目して各桁ごとに考えると，覆面算っぽく解くことができます。
まず， $5d$ と $d$ を 10 で割った余りは同じなので $d=0$ または $d=5$ です。

$d=0$ のとき

与式は 1 桁減らした式に直せます。

$5(abc+700)=ab7c\mbox{　……(2)}$

$d$ の議論と同様に $c=0$ または $c=5$ です。

$c=0$ のとき

(2)は $5(ab+70)=ab7$ になりますが，5 倍して 1 の位が 7 になるのは不合理。

$c=5$ のとき

(2)は次のようになります。

$5(ab5+700)=ab75\mbox{　……(3)}$

$5\times b5$ の下 2 桁は 75 です。しらみつぶしで $b$ は 1, 3, 5, 7, 9 のいずれかであることがわかります。
これを(3)に代入すると $(a,\, b)=(6,\, 9)$ がわかって $n=6950$ と決定できます。

$d=5$ のとき

$5(abc5+7000)=ab7c5\mbox{　……(4)}$ の 10 の位に注目すると

$\text{($5c$の1の位)}+2\equiv c\pmod{10}$

$5c$ の 1 の位は 0 か 5 なので $c=2$ または $c=7$ です。(4)に代入して 100 の位に注目しましょう。

$c=2$ のとき

$5(ab25+7000)=ab725$ より

$\text{($5b$の1の位)}+1\equiv 7\pmod{10}\mbox{　……(5)}$

$c=7$ のとき

$5(ab75+7000)=ab775$ より

$\text{($5b$の1の位)}+3\equiv 7\pmod{10}\mbox{　……(6)}$

$5b$ の 1 の位は 0 か 5 なので(5)(6)はどちらも不可です。

以上まとめて $n=\mathbf{6905}$ です。