平野塾@吉祥寺

おもに数学について書きます

覆面算 /「算数にチャレンジ!!」第1101問

問題概略

4 桁の整数  n=abcd a,  b,  c,  d は桁数字。以下同様)は
 5(abcd+7000)=ab7cd をみたします。
 n を求めてください。

http://www.sansu.org/used-html/index11101.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

方程式で一気に解く

 n の上 2 桁を  x とおいて,下 2 桁を  y とおきます。
 x=10a+b,  y=10c+d n=100x+y です。

 5(abcd+7000)=ab7cd より

 5(100x+y+7000)=1000x+700+y\quad \therefore y+8575=125x\mbox{ ……(1)}

 \bmod\, 125 で考えると  y+75\equiv 0 より  y\equiv -75\equiv 50

 y は 2 桁なので  y=50 で,(1)から  x=69 もわかります。

 \therefore n=100x+y=\mathbf{6950}

覆面算っぽく一桁ごとに求める

 5\times 7000=35000 をたしても下 3 桁は変化しないことに注目して各桁ごとに考えると,覆面算っぽく解くことができます。
まず, 5d d を 10 で割った余りは同じなので  d=0 または  d=5 です。

 d=0 のとき

与式は 1 桁減らした式に直せます。

 5(abc+700)=ab7c\mbox{ ……(2)}

 d の議論と同様に  c=0 または  c=5 です。

 c=0 のとき

(2)は  5(ab+70)=ab7 になりますが,5 倍して 1 の位が 7 になるのは不合理。

 c=5 のとき

(2)は次のようになります。

 5(ab5+700)=ab75\mbox{ ……(3)}

 5\times b5 の下 2 桁は 75 です。しらみつぶしで  b は 1, 3, 5, 7, 9 のいずれかであることがわかります。
これを(3)に代入すると  (a,\, b)=(6,\, 9) がわかって  n=6950 と決定できます。

 d=5 のとき

 5(abc5+7000)=ab7c5\mbox{ ……(4)} の 10 の位に注目すると

 \text{($5c$の1の位)}+2\equiv c\pmod{10}

 5c の 1 の位は 0 か 5 なので  c=2 または  c=7 です。(4)に代入して 100 の位に注目しましょう。

 c=2 のとき

 5(ab25+7000)=ab725 より

 \text{($5b$の1の位)}+1\equiv 7\pmod{10}\mbox{ ……(5)}

 c=7 のとき

 5(ab75+7000)=ab775 より

 \text{($5b$の1の位)}+3\equiv 7\pmod{10}\mbox{ ……(6)}

 5b の 1 の位は 0 か 5 なので(5)(6)はどちらも不可です。

以上まとめて  n=\mathbf{6905} です。