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覆面算 /「算数にチャレンジ!!」第1101問

算数にチャレンジ!!

問題概略

4 桁の整数 n=abcd（ a, b, c, d は桁数字。以下同様）は
5(abcd+7000)=ab7cd をみたします。
n を求めてください。

http://www.sansu.org/used-html/index11101.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

方程式で一気に解く

n の上 2 桁を x とおいて，下 2 桁を y とおきます。
x=10a+b, y=10c+d で n=100x+y です。

5(abcd+7000)=ab7cd より

5(100x+y+7000)=1000x+700+y\quad \therefore y+8575=125x\mbox{　……(1)}

\bmod\, 125 で考えると y+75\equiv 0 より y\equiv -75\equiv 50。

y は 2 桁なので y=50 で，(1)から x=69 もわかります。

\therefore n=100x+y=\mathbf{6950}

覆面算っぽく一桁ごとに求める

5\times 7000=35000 をたしても下 3 桁は変化しないことに注目して各桁ごとに考えると，覆面算っぽく解くことができます。
まず， 5d と d を 10 で割った余りは同じなので d=0 または d=5 です。

d=0 のとき

与式は 1 桁減らした式に直せます。

5(abc+700)=ab7c\mbox{　……(2)}

d の議論と同様に c=0 または c=5 です。

c=0 のとき

(2)は 5(ab+70)=ab7 になりますが，5 倍して 1 の位が 7 になるのは不合理。

c=5 のとき

(2)は次のようになります。

5(ab5+700)=ab75\mbox{　……(3)}

5\times b5 の下 2 桁は 75 です。しらみつぶしで b は 1, 3, 5, 7, 9 のいずれかであることがわかります。
これを(3)に代入すると (a,\, b)=(6,\, 9) がわかって n=6950 と決定できます。

d=5 のとき

5(abc5+7000)=ab7c5\mbox{　……(4)} の 10 の位に注目すると

\text{($5c$の1の位)}+2\equiv c\pmod{10}

5c の 1 の位は 0 か 5 なので c=2 または c=7 です。(4)に代入して 100 の位に注目しましょう。

c=2 のとき

5(ab25+7000)=ab725 より

\text{($5b$の1の位)}+1\equiv 7\pmod{10}\mbox{　……(5)}

c=7 のとき

5(ab75+7000)=ab775 より

\text{($5b$の1の位)}+3\equiv 7\pmod{10}\mbox{　……(6)}

5b の 1 の位は 0 か 5 なので(5)(6)はどちらも不可です。

以上まとめて n=\mathbf{6905} です。


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