平野塾@吉祥寺

2元2次方程式の実数解 / 2020 トルコジュニア第1問

数オリ

問題概略
判別式をとる
平方完成する

問題概略

次の方程式の実数解をすべて求めよ。

$2x^2+y^2+7=2(x+1)(y+1)$

https://artofproblemsolving.com/community/c6h2476049p20756123

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

判別式をとる

展開するとこうなります。

$2x^2+y^2-2xy-2x-2y+5=0$

$x$ で整理して判別式 $D$ をとりましょう。

$2x^2-2(y+1)x+y^2-2y+5=0$ から

$\frac{D}{4} =(y+1)^2-2(y^2-2y+5)=-(y^2-6y+9)$
$=-(y-3)^2\leqq 0$

実数解条件より $y=3$ 。
これを元の式に代入すると $x^2-4x+4=0$ になるので $(x-2)^2=0$ と変形できて $x=2$ です。
まとめて $(x,\, y)=(2,\, 3)$

平方完成する

実は最初から平方完成する方がはやいです。

$y^2-2(x+1)y+2x^2-2x+5=0$
$\Leftrightarrow \left\{y-(x+1)\right\}^2+x^2-4x+4=0$
$\Leftrightarrow (y-x-1)^2+(x-2)^2=0$

実数解条件から $y-x-1=0$ かつ $x-2=0$ が言えるので $(x,\, y)=(2,\, 3)$ です。

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