問題概略
3 桁の自然数
の各位の数字を並べかえた数の最大値を
，最小値を
とします。
をみたす
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
x は 99 の倍数
の各位の数字を
,
,
とします。
\begin{align*}
&M=100a+10b+c,\, m=100c+10b+a\\[5pt]
&\therefore x=M-m=99(a-c)\mbox{ ……(1)}
\end{align*}
は 99 の倍数かつ 3 桁の自然数です。この条件をみたす数は 9 個しかありません。
これらが をみたすかどうか，しらみつぶしすると
がわかります。
x の 10 の位は 9
(2)から の 10 の位が必ず 9 になることが見てとれます。
これは を考えれば明らかです。
は 100 の倍数で下 2 桁は 00。そこから 2 以上 10 以下の
を引くと，繰り下がりがおこって
の 10 の位は 9 になります。
なので(1)は
と同値です。展開しておきましょう。
「10 の位は 9」から または
も言えます。
・(3)かつ(4)のとき
を消去すると
で，これをみたす
は存在しません。
・(3)かつ(5)のとき
を消去すると
になります。
,
が 1 桁の数であることから
,
です。
(5)より になります。
背景
このような数をカプレカー数といいます。wikipedia にそのリストが載っていました。
oeis には「カプレカー写像の不動点」として載っています。
Fixed points of the Kaprekar mapping
, where in
the digits of
are arranged in descending, in
in ascending order.
