1/(1+sin x)の積分と次数下げ / 2016東京女子医大第4問

問題概略
α の計算
- 分母・分子を 1-sin x 倍
- tan x/2=t と置換
P(α) の計算
- α の等式を作って次数下げ
- 計算のバリエーション

問題概略

$\alpha=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\sin x}\, dx$ , $P(x)=x^3+2x^2+4$ とおくとき

$\alpha=A+\sqrt{B}$ と $P(\alpha)=C+\sqrt{D}$ が成り立つような整数 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ を求めよ。

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α の計算

分母・分子を 1-sin x 倍

被積分関数の分母・分子に $1-\sin x$ をかけて変形していきます。

\begin{align*}
\frac{1}{1+\sin x}&=\frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}=\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\\
&=\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\left(\tan x-\frac{1}{\cos x}\right)'
\end{align*}

$\alpha=\displaystyle\left[\tan x-\frac{1}{\cos x}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}-1$ より
$A=-1$ , $B=3$

この計算は $\displaystyle\int \frac{dx}{\sin x}$ を求めるときの変形に似ていますね。

\begin{align*}
\frac{1}{\sin x} &=\frac{\sin x}{\sin^2 x}=\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}
=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\\
&=\frac{1}{2} (\log|\,1-\cos x\,|-\log|\, 1+\cos x\,|)'
\end{align*}

tan x/2=t と置換

$\tan \frac{x}{2}=t$ とおくと $\sin x$ は $\dfrac{2t}{1+t^2}$ とあらわせます。

$\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{1+t^2+2t}=\frac{1+t^2}{(t+1)^2}$

次は $dx$ を $dt$ に変えます。 $\tan \frac{x}{2}=t$ から

$\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}dx=dt$

$\dfrac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}=1+\tan^2 \frac{x}{2}=1+t^2$ を使って整理します。

$\frac{1+t^2}{2}dx=dt\quad \therefore dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt$

積分区間は $t:0\to \frac{\pi}{3}$ になるので

\begin{align*}
\alpha&=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+t^2}{(t+1)^2}\cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{2}{(t+1)^2}\,dt\\
&=-\left[\frac{2}{t+1}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}-1\quad \therefore A=-1,\, B=3
\end{align*}