問題概略 サイコロを 4 回振って，1 回ごとに「それまでに出た目の数の合計」を記録用紙に書いていきます。たとえばサイコロの出目が 1 回目から順に 2, 3, 5, 1 のとき記録用紙には「2, 5, 10, 11」と記入されます。記録用紙に 2 と 4 が両方とも記入される…

問題概略 矢印の順列 問題概略 下のような道路があります。黒線が道路です。A 地点から B 地点に以下のルールを守りながら移動することを考えます。 最短距離で進む 上方向（縦方向）に連続して進むことはできない 進む経路は何通りあるでしょうか。http://w…

問題概略 ↑に注目 問題概略 下の図は T 都 S 区にある G 街という商店街の地図を表しています。線が道路です。G 街の入り口（左下）にいるマサルさんが，この街の右上にあるカレー屋さんに行くことにしました。マサルさんは次の 2 つのルールにしたがってカ…

問題概略 指数に注目 条件1, 2の言い換え 条件1について 条件2について 3数の決定 問題概略 3 つの異なる整数 , , があります。この 3 つの整数は次の条件をみたします。 （条件1） と の公約数を小さい方から並べると 5 番目が 14 （条件2） と の公約数を…

問題概略 1次不定方程式を解く 問題概略 マサルさんのテストの点数は ○○ 点でした。このテストは 1 問あたり 3 点か 4 点です。マサルさんは 3 点問題も 4 点問題も 1 問以上は解けていたそうです。 この話を聞いたトモエさんは「その点数だと，3 点問題と 4…

問題概略 不定方程式を解く 合同式を使う 問題概略 算数の苦手なマサルさんは分母，分子ともに 2 ケタの分数の約分を行うときに「分母の 10 の位の数と分子の 1 の位の数が同じだったとき約分してしまう」というクセがあります。 \begin{align*} \frac{ab}{b…

問題概略 素因数分解する 問題概略 8 ケタの整数で次の条件をみたすもののうち最も大きいものを求めてください。（条件1） の形である。 （条件2）4277 の倍数である。http://www.sansu.org/used-html/index1053.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイ…

問題概略 グループ分けして数える 各グループの最大値，最小値から数える 漸化式を作る 問題概略 次の条件をみたす 8 ケタの整数は何個あるでしょうか。 1 ～ 8 までの数字を 1 回ずつ使う。 2 つの連続したケタを選んだとき，ある。 http://www.sansu.org/u…

問題概略 数学で解く 受験算数で解く 基本解法 意識的に変形する 問題概略 次の式がなりたつような1以上の整数 ～ を求めて，それらの和 を答えてください。 \begin{align*} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{7}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1 \end{align*}た…

問題概略 とりあえず答えを出す 中身を見てみる 中国式剰余定理 問題概略 整数 , は次の条件をみたしています。このような は何組あるでしょうか。 ともに 1 以上 100 以下 は よりも大きい は の倍数 は の倍数 http://www.sansu.org/used-html/index1045.h…

問題概略 お品書き 解法1：合成変換を考える 解法2：逆変換を考える 解法3：平均からのずれに注目する 解法4：規則性に注目 おまけ：mathematica で解く 問題概略 ア，イ，ウの 3 つのコップの中に水が入っていて，イとウの水の量は同じでアだけは量が異なっ…

問題概略 逆数の和の方程式に直す 問題概略 正の偶数 の相異なる約数を 3 つ選んでそれらの和を求めたところ， のちょうど半分でした。 にはこのような 3 つの約数の選び方が 6 通りあります。 の最小値を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/in…

問題概略 対称性を利用して数える 文字固定して数える 問題概略 36 個のアメ玉をマサルさん，トモエさん，マサヒコさんの 3 人で分けることになりました。 1 個ももらえない人はいない もらえる個数はマサヒコさんが一番多く，トモエさんがその次に多く，マ…

問題概略 全部書く（解法１） 二項係数であらわす（解法２） 首位の数字を固定 公式を使って改善 一般化 漸化式（解法３） 右に1桁足して立式 行列で書いて一般項を求める 問題概略 次の条件をみたす整数の個数を求めてください。 10000 以上 99999 以下 各…

問題概略 合同式を使おう 問題概略 1 以上 100 以下の整数 , があります。 が偶数で が 5 の倍数となるような は何組あるでしょうか。http://www.sansu.org/used-html/index1036.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをど…

問題概略 1 から 12 までの整数が書かれたカードが 1 枚ずつ，全部で 12 枚あります。 これらのカードをよく切ってマサルさんと花子さんに 6 枚ずつ配ります。2 人はそれぞれのカードを見せあい，次の作業を行います。 （作業）マサルさんは手持ちの 6 枚の…

問題概略 3桁の場合 一般の n 桁の場合 問題概略 10 桁の整数 と があって をみたしています。 の各位の数の和と の各位の数の和の合計として考えられる値のうち，大きい方から 3 番目にあたる数を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/index1007…

問題概略 連立合同式 1 次不定方程式に直す できるだけ合同式のまま解く 問題概略 10 桁の整数 があります。この について\begin{align*} a&=\text{(各位の数の和)}\\ b&=\text{(前から奇数番目の位の数の和)}-\text{(前から偶数番目の位の数の和)} \end{ali…

問題概略 格子点を数える a を固定して数える 正攻法 余事象 b を固定して数える 全部書く 問題概略 中の見えない袋の中に 1～50 の番号の書かれたボールが入っています。この中から 1 個のボールを取り出して，そこに書かれた数を として記録します。 この…

問題概略 解答 おまけ1：合同式を使って一般解を探す おまけ2：一般化 問題概略 マサルさんとトモエさんが次のような計算をしました。 マサルさんは連続する 11 個の自然数の和を求めて 13 を引きました。 トモエさんは連続する 13 個の自然数の和を求めて 1…

問題概略 基本方針 mathematicaで解く 問題概略 6 枚のカードにそれぞれ異なる 1 以上の整数が書かれています。 この 6 枚から 2 枚を取り出す方法は 15 通りありますが，それらすべてについて 2 つの数の差が異なっていました。6 枚のカードに書かれた数の…

問題概略 題意を正確にとらえる 5 と 2 を作る mathematica で解く 問題概略 4 枚のカードに 1 から 9 までのいずれかの整数を記入します。同じ数を複数回記入しても構いません。 できた 4 枚のカードをすべて使って掛け算と割り算だけの計算式を作り，答え…

問題概略 解説 問題概略 一の位の数と千の位の数がともに 1 であるような 4 桁の整数のうち，7 で割ると 3 余るものはいくつあるでしょうか。http://www.sansu.org/used-html/index1099.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこち…

問題概略 全パターン調べる 元ネタ（？）について 問題概略 正五角形の各頂点に丸い枠があり，その 1 つに 1 が記入されています。残りの 4 つの枠（時計回りにア～エとします）にもそれぞれ数が記入されています。隣どうしでつながっているいくつかの数（1 …

問題概略 3で割った余りに注目して数える おまけ：累積和 問題概略 1 から 6 までの数が書かれたカードが 1 枚ずつ，計 6 枚あります。一辺の長さ 1 の正三角形 ABC の頂点 A からスタートして，カードを 1 枚選んでそのカードに書かれた数だけ反時計回りに…

問題概略 割る数は余りより大きい 誤答例 k の値からしぼりこむ 問題概略 次の条件をみたす自然数 , の和を求めてください。 は より大きく， の 3 倍よりは小さい を で割ると商は 1 で余りは 7 の 3 倍を で割ると余りは 5 http://www.sansu.org/used-html…

問題概略 解説 問題概略 , は をみたす自然数で，次の方程式をみたします。 , の組は何通りあるでしょうか。http://www.sansu.org/used-html/index1119.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 解…

問題概略 漸化式を立てる fn だけの式にする 問題概略 8 段の階段を次のような方法で登ります。登り方は何通りあるでしょうか。 「一歩で 1 段」「一歩で 2 段」「一歩で 3 段」の 3 通りの登り方ができる 使わない登り方があってもよい 「一歩で 2 段」は連…

問題概略 2 進小数で考える 2倍は左シフト 周期性 問題概略 次のような性質をもつ数 あります。 0 より大きく 1 より小さい に 2 を奇数回かけると小数部分は より大きく 1 より小さくなる に 2 を偶数回かけると小数部分は 0 より大きく より小さくなる を…

問題概略 変わるところにだけ注目 37 のかわりに 111 で考える 問題概略 9 桁の数 に次の操作をします。 1～9 までの 9 つの数から 2 つの数 を選ぶ において と をいれかえて新しい数 を作る たとえば 2 と 7 を選ぶと になります。 と の差が 37 の倍数に…