a+bが偶数で2a+3bが5の倍数になるa, bの組 /「算数にチャレンジ!!」第1036問

1 以上 100 以下の整数 $a$ , $b$ があります。
$a+b$ が偶数で $a\times 2+b\times 3$ が 5 の倍数となるような $(a,\, b)$ は何組あるでしょうか。
http://www.sansu.org/used-html/index1036.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

合同式を使うと楽勝です。

$a+b$ が偶数になる条件は $a$ と $b$ の偶奇が一致することです。

$a\equiv b\pmod{2}\mbox{　……(1)}$

「 $2a+3b$ が 5 の倍数」は $2a+3b\equiv 0\pmod{5}$ です。

$3\equiv -2\pmod{5}$ を使うと，これは $2(a-b)\equiv 0\pmod{5}$ と変形できます。

2 と 5 は互いに素なので $a-b\equiv 0\pmod{5}$ です。

$a\equiv b\pmod{5}\mbox{　……(2)}$

(1)(2)より $a$ と $b$ は 10 で割った余りが等しい数です。

1～100 の中には 10 で割った余りが 0～9 の数が 10 個ずつ含まれていて， $a$ を 1 つ決めたとき条件をみたす $b$ は 10 個あります。

$(a,\, b)$ の個数は $100\cdot 10=1000$ より「1000 個」です。