変な約分がうまくいくケース /「算数にチャレンジ!!」第1046問

問題概略
不定方程式を解く
合同式を使う

問題概略

算数の苦手なマサルさんは分母，分子ともに 2 ケタの分数の約分を行うときに「分母の 10 の位の数と分子の 1 の位の数が同じだったとき約分してしまう」というクセがあります。
\begin{align*}
\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}
\quad \text{（例）}\ \frac{23}{37}=\frac{2}{7}
\end{align*}
ほとんどの場合は間違いとなってしまいますが，正しい結果になる場合もあります（上記の処理の結果， $3/6$ など，さらに約分が可能な分数になってもそれは「正しい結果」と判断します）。
このような分数すべての積を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1046.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

不定方程式を解く

分母をはらって整理します。
\begin{align*}
\frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c} &\ \Leftrightarrow\ c(10a+b)=a(10b+c)\\
&\ \Leftrightarrow\ 9ac+bc=10ab
\end{align*}

これをみたす $(a,\, b,\, c)$ を求めます。 $a$ , $b$ , $c$ はどれも 1 以上 9 以下です。

どの文字に注目して場合分けしても計算量は大差ないと思います。私は約分で消える $b$ の値で場合分けしました。

$b=1$ のとき $9ac-10a+c=0$ から
\begin{align*}
(9a+1)(9c-10)=-10
\end{align*}

これの解は $9a+1=10$ かつ $9c-10=-1$ のときの $(a,\, c)=(1,\, 1)$ だけです。

$b=2$ ～ $b=9$ の場合を同じ要領で解くと，条件をみたす $(a,\, b,\, c)$ は全部で 13 個ありました。

自明な $(k,\, k,\, k)\ (1\leqq k\leqq 9)$ 型が 9 個
自明でないものは $(1,\, 6,\, 4)$ , $(1,\, 9,\, 5)$ , $(2,\, 6,\, 5)$ , $(4,\, 9,\, 8)$ の 4 個

自明な場合の分数はすべて $1/1=1$ なので積に影響しません。自明でない場合の $a/c$ の積を求めればよくて，答えは「 $1/100$ 」です。
\begin{align*}
\frac{1}{4}\times \frac{1}{5}\times \frac{2}{5}\times \frac{4}{8}={\frac{1}{100}}
\end{align*}

合同式を使う

合同式を使って解の候補をしぼりこむことができます。
$9ac+bc=10ab$ を $\bmod\, 9$ で考えます。
\begin{align*}
bc\equiv ab\ \Leftrightarrow\ b(a-c)\equiv 0
\end{align*}

「 $b\equiv 0$ 」「 $a-c\equiv 0$ 」「 $b\equiv a-c\equiv 3$ 」「 $b\equiv a-c\equiv -3$ 」の 4 つの場合が考えられます。

$1\leqq b\leqq 9$ と $-8\leqq a-c\leqq 8$ を考えると，これは少し整理できてそれぞれ次のようになります。

「 $b=9$ 」「 $a=c$ 」「 $(b,\, a-c)=(3,\, 3),\, (3,\, -6)$ 」「 $(b,\, a-c)=(6,\, -3),\, (6,\, 6)$ 」

ア） $b=9$ のとき

$9ac+bc=10ab$ は $ac+c=10a$ になります。これは $(a+1)(c-10)=-10$ と変形できます。
\begin{align*}
(a+1,\, c-10)=(2,\, -5),\, (5,\, -2)\quad \therefore (a,\, c)=(1,\, 5),\, (4,\, 8)
\end{align*}