問題概略
次の式がなりたつような1以上の整数
～
を求めて，それらの和
を答えてください。
\begin{align*}
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{7}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1
\end{align*}ただし，
は 7 より小さく，
と
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
数学で解く
「単位分数（分子が 1 の分数）の和で を表わせ」という問題です。
分母の少なくとも 1 つは 7 の倍数なので， に 14, 21, 28 を代入してみます。
\begin{align*}
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11}{14},\, \frac{17}{21},\, \frac{23}{28}
\end{align*}
どの場合も分母に 7 が残るので， も 7 の倍数ですね。
として一般性を失わないので
の候補は次の 6 通りです。
\begin{align*}
(c,\, d)=(14,\, 14),\, (14,\, 21),\, (14,\, 28),\, (21,\, 21),\, (21,\, 28),\, (28,\, 28)
\end{align*}
これらに対応する の値を求めます。
\begin{align*}
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{7},\, \frac{31}{42},\, \frac{3}{4},\, \frac{16}{21},\, \frac{65}{84},\, \frac{11}{14}
\end{align*}
と
は 7 より小さいので，分母が 7 の倍数になるものは不適。
この条件をクリアするものは のときの
だけです。
と仮定してこれを解くと
になります。
これで全部決まりました。求める和は の「48」です。
受験算数で解く
基本解法
受験算数ではこのタイプの問題は「目的の分数を の形に直す」→「
を切り上げた整数を
として，目的の分数から
を引く」を繰り返して解きます。
たとえば の場合，次のようにして解きます。
の分母を切り上げると 2
なので
この解法で を分解してみましょう。
なので，まず
を引きます。
\begin{align*}
\frac{6}{7}-\frac{1}{2}=\frac{5}{14}=\frac{1}{2.8}
\end{align*}
次は を引きます。
\begin{align*}
\frac{6}{7}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{42}\quad \therefore \frac{6}{7}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{42}
\end{align*}
単位分数の和で表すことはできましたが，これは問題文の条件をみたしていないのでダメです。
意識的に変形する
上で見たように，機械的に変形してすべての条件をみたす形になるのを期待するのは望み薄です。
と
の少なくとも一方は 7 より大きくて 30 より小さい 7 の倍数だとわかっているので，
から
,
,
を引くことからはじめます。
を引く場合，次のようになります。
\begin{align*}
\frac{6}{7}-\frac{1}{14}=\frac{11}{14}=\frac{1}{1.\cdots}
\end{align*}
次は を引きます。
\begin{align*}
\frac{6}{7}-\frac{1}{14}-\frac{1}{2}=\frac{2}{7}=\frac{1}{3.5}
\end{align*}
次は を引きます。
\begin{align*}
\frac{6}{7}-\frac{1}{14}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{28}\quad \therefore \frac{6}{7}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}
\end{align*}
うまくいきました。
\begin{align*}
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=1
\end{align*}
を引くことからはじめても同じ式になります。
おまけとして を引くことからはじめた場合の式も書いておきます。これは条件をみたしません。
\begin{align*}
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{17}+\frac{1}{21}+\frac{1}{1428}=1
\end{align*}
