積分の不等式とはさみうちの原理 / 2015 大阪大学・理系第1問

問題
(1)はまず置換
(2)ははさみうち

問題

自然数 $n$ に対して関数 $f_n(x)$ を
\begin{align*}
f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)}\log\left(1+\frac{x}{n}\right)\quad (x\geqq 0)
\end{align*}
で定める。以下の問いに答えよ。

(1)　 $\displaystyle\int_0^n f_n(x)\,dx\leqq \int_0^1 \log(1+x)\, dx$ を示せ。

(2)　数列 $\{I_n\}$ を $I_n=\displaystyle\int_0^n f_n(x)\,dx$ で定める。
$0\leqq x\leqq 1$ のとき $\log(1+x)\leqq \log 2$ であることを用いて数列 $\{I_n\}$ が収束することを示し，その極限値を求めよ。
ただし， $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\log x}{x}=0$ であることを用いてよい。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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(1)はまず置換

与式の左辺で $x/n=t$ と置換します。 $x=nt$ より $dx=n\, dt$ で $x:0\to n$ のとき $t:0\to 1$ です。
\begin{align*}
\text{(左辺)}&=\int_0^1 \frac{nt}{n(1+nt)}\log(1+t)\cdot n\, dt\\
&=\int_0^1 \frac{nt}{1+nt}\log(1+t)\, dt\mbox{　……(a)}\\
&=\int_0^1 \left(1-\frac{1}{1+nt}\right)\log(1+t)\, dt\\
&=\int_0^1 \log(1+t)\, dt-\int_0^1 \frac{1}{1+nt}\log(1+t)\, dt\mbox{　……(b)}\\
&\leqq \int_0^1 \log(1+t)\, dt\quad (\because \text{上式第2項は0以上})\\[3pt]
&=\text{(右辺)}
\end{align*}

これで証明完了です。

真分数式に直して第 2 項を落とす変形がピンとこない人は(a)のあと，右辺と左辺を引くといいと思います。
\begin{align*}
\text{(右辺)}-\text{(左辺)}&=\int_0^1 \left(1-\frac{nt}{1+nt}\right)\log(1+t)\, dt\\
&=\int_0^1 \frac{1}{1+nt}\log(1+t)\, dt\geqq 0
\end{align*}

無事証明できました。

(2)ははさみうち

(1)が不等式の証明で(2)が極限計算ということから「はさみうちの原理」を使うことが予想できます。

(b)で $J_n=\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+nt}\log(1+t)\, dt$ とおきます。
\begin{align*}
I_n=\int_0^1 \log(1+t)\, dt-J_n\mbox{　……(c)}
\end{align*}

この右辺を別々に評価します。第 1 項の積分は計算できます。
\begin{align*}
\int_0^1 \log(1+t)\, dt&=\int_1^2 \log u\, du\quad (u=1+t)\\
&=\Big[u\log u-u\Big]_1^2=2\log 2-1\mbox{　……(d)}
\end{align*}

第 2 項については $J_n\geqq 0$ は明らか。
問題文中の「 $0\leqq x\leqq 1$ のとき $\log(1+x)\leqq \log 2$ 」を使うと上から評価することもできます。
\begin{align*}
0&\leqq J_n \leqq \int_0^1 \frac{1}{1+nt}\log 2\, dt=\log 2\left[\frac{1}{n}\log(1+nt)\right]_0^1\\[3pt]
&=\log 2\cdot \frac{\log(1+n)}{n}
=\log 2\cdot \frac{\log(1+n)}{1+n}\cdot \frac{1+n}{n}
\end{align*}