問題
座標空間の
軸上に動点 P, Q がある。P, Q は時刻 0 において，原点を出発する。
P は点 P, Q を中心とする半径 1 の球をそれぞれ
,
とし，空間で
の部分を
とする。
このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 時刻
における立体
の体積
を求めよ。
(2)
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
(1)について
球は円を回転したもの
題意の立体は 2 つの球の和集合 を平面
で切ったものです。
球の中心が両方とも 軸上にあって，平面
は
軸と直交することに注目しましょう。
題意の立体には 軸に関する回転対称性があります。
平面で切ると次のようになります。
はこの領域を
軸のまわりに回転してできる立体の体積です。
\begin{align*}
V(t) &=\pi\int_{-1}^0 \left\{1-(x+t)^2\right\}dx+\pi\int_{0}^{t+1} \left\{1-(x-t)^2\right\}dx\\
&={\pi\left(-\frac{t^3}{3}-t^2+2t+\frac{4}{3}\right)}
\end{align*}
不等式で与えられた立体の求積
,
,
はすべて不等式で表せるので，
をもっと機械的に求めることもできます。
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{l}
A:(x-t)^2+y^2+z^2\leqq 1\\[3pt]
B:(x+t)^2+y^2+z^2\leqq 1\\[3pt]
C:x\geqq -1
\end{array}\right.
\end{align*}
こういう形で与えられた立体の体積を求めるときは「もっとも次数が高い文字を固定」「もっとも登場回数が多い文字を固定」が定石です。
と固定します。
平面 による断面の
平面への正射影は次のようになります。
\begin{align*}
&\left\{\begin{array}{l}
y^2+z^2\leqq 1-(k-t)^2\\[3pt]
y^2+z^2\leqq 1-(k+t)^2\\[3pt]
\end{array}\right.\\[3pt]
&\therefore y^2+z^2\leqq \min\left\{1-(k-t)^2,\, 1-(k+t)^2\right\}
\end{align*}
これは円の周または内部です。断面が存在する条件は と
で，これらと
を整理すると
の範囲が
であることがわかります。
半径を とおくと断面積
は次のようになります。
\begin{align*}
S(k)&=\pi r^2=\pi\cdot \min\left\{1-(k-t)^2,\, 1-(k+t)^2\right\}\\
&=\left\{\begin{array}{ll}
\pi\left\{1-(k+t)^2\right\} & (-1\leqq k\leqq 0)\\[3pt]
\pi\left\{1-(k-t)^2\right\}& (0\leqq k\leqq t+1)
\end{array}\right.
\end{align*}
はこれを積分したものです。
\begin{align*}
V(t) &=\int_{-1}^{t+1} S(k)\, dk\\
&=\pi\int_{-1}^0 \left\{1-(k+t)^2\right\}dk+\pi\int_{0}^{t+1} \left\{1-(k-t)^2\right\}dk\\
&={\pi\left(-\frac{t^3}{3}-t^2+2t+\frac{4}{3}\right)}
\end{align*}
(2)は微分して次数下げ
(1)より です。
での増減は次のようになります。
最大値は のときの値です。
とおいて次数下げしましょう。
は
の解なので
をみたします。
\begin{align*}
\alpha^3 &=\alpha\cdot\alpha^2=\alpha(-2\alpha+2)\\
&=-2\alpha^2+2\alpha=-2(-2\alpha+2)+2\alpha\\
&=6\alpha-4
\end{align*}
最大値 は
の 1 次式であらわせます。
\begin{align*}
V(\alpha) &=\pi\left\{-\frac{1}{3}(6\alpha-4)-(-2\alpha+2)+2\alpha+\frac{4}{3}\right\}\\
&=\pi\left(2\alpha+\frac{2}{3}\right)={\pi\left(2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\right)}
\end{align*}
