3以上の奇数mの約数a1, a2, …, ak / 2022 東京慈恵会医科大学第3問

問題
(1)は不等式評価
(2)は二項展開

問題

$m$ は 3 以上の奇数とし， $m$ のすべての正の約数を $a_1,\, a_2,\, \cdots, a_k$ と並べる。
ただし， $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ とする。
以下の 2 つの条件(i), (ii)をみたす $m$ について考える。

(i)　 $m$ は素数ではない。
(ii)　 $i \leqq j$ , $1 < i < k$ , $1 < j < k$ をみたすすべての整数 $i$ , $j$ について， $a_j − a_i \leqq 3$ が成り立つ。

このとき次の問いに答えよ。

(1)　 $k$ は 3 または 4 であることを示し， $m$ を $a_2$ を用いて表せ。

(2)　 $k=3$ となるとき，すべての正の整数 $n$ について $(a_{2}n+1)^{a_2}-1$ は $m$ の倍数であることを示せ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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(1)は不等式評価

(1)　抽象的な問題ですが， $a_j − a_i$ の最大値に注目すると解けます。

奇数 $m$ の約数 $a_1$ ～ $a_k$ はすべて奇数であること，奇数同士は 2 以上離れていることを使います。

$1< i\leqq j< k$ なので $a_j-a_i$ が最大になるのは $i=2$ , $j=k-1$ のときです。この値を下から評価すると次のようになります。
\begin{align*}
a_{k-1}-a_2\geqq 2\left\{(k-1)-2\right\}=2(k-3)
\end{align*}

上から評価すると $a_{k-1}-a_2\leqq 3$ なので $2(k-3)\leqq 3$ から $k\leqq 4$ がわかります。

また， $1< i\leqq j< k$ は $2\leqq i\leqq j \leqq k-1$ と言い換えることができて $2\leqq k-1$ から $k\geqq 3$ が言えます。これらをあわせると $k=3$ または $k=4$ が言えます。証明終わり。

次は $m$ を $a_2$ で表します。

ア） $k=3$ のとき

約数を 3 個しかもたないことから $m$ は素数の平方数です。

$p$ を 3 以上の素数として $a_1=1,\, a_2=p,\, a_3=p^2=m$ と書けるので $m={a_2}^2$ です。

イ） $k=4$ のとき

$m$ の約数は $a_1=1,\, a_2,\, a_3,\, a_4=m$ の 4 つです。

$a_2$ と $a_3$ は異なる奇数で，その差は 3 以下なので $a_3=a_2+2$ が言えて $m=a_2a_3=a_2(a_2+2)$ です。たとえば $m=15$ のとき $a_1=1$ , $a_2=3$ , $a_3=5$ , $a_4=15=m$ で， $15=3\times 5$ が成り立つわけです。

まとめると次のようになります。
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}
\text{$k=3$のとき}& m={{a_2}^2}\\
\text{$k=4$のとき}& m={a_2(a_2+2)}
\end{array}\right.
\end{align*}

(2)は二項展開

(2)　(1)で見たように $p$ を 3 以上の素数として $a_2=p$ , $m=p^2$ とおけます。

与式を二項展開したときにあらわれる項のほとんどが $p^2$ で割りきれることを利用します。
\begin{align*}
(a_{2}n+1)^{a_2}-1&=(pn+1)^p-1=\sum_{k=0}^p {}_p\mathrm{C}_k (pn)^k-1\\
&=\sum_{k=1}^p {}_p\mathrm{C}_k (pn)^k
\end{align*}