正六角形の辺の三等分点からできる三角形の面積 / 2022 麻布中学第5問

問題
解答

問題

面積が $6\ \mathrm{cm^2}$ の正六角形 ABCDEF があります。
この正六角形の辺 EA, BC, DE 上に,
\begin{align*}
\mathrm{FG:GA=BH:HC=DI:IE=2:1}
\end{align*}
となるような点 G, H, I をとります。
また，直線 AI と CG が交わる点を J，CG と EH が交わる点を K，EH と AI が交わる点を L とします。
以下の問いに答えなさい。ただし，右の図は正確な図ではありません。
(1)　3 点 A, C, G を頂点とする三角形 ACG の面積を求めなさい。
(2)　三角形 AJG の面積を求めなさい。
(3)　三角形 JKL の面積を求めなさい。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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解答

(1)　正六角形を 6 等分してできる三角形をもとに考えます。
その面積は $1\ \mathrm{cm^2}$ 。
長方形 ACDF の面積は三角形 4 個分で $4\ \mathrm{cm^2}$ 。

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これの半分が $\triangle\mathrm{ACF}$ で，さらにその $1/3$ が $\triangle\mathrm{ACG}$ です。
求める面積は
\begin{align*}
4\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}={\frac{2}{3}\ \mathrm{cm^2}}
\end{align*}

(2)　この問題を解くのに(1)を使うはずで， $\mathrm{CJ:JG}$ がわかれば解けます。

そこで考えたのが左下図です。
CD, AI, FE の延長線は多分 1 点で交わるだろうと予想しました。
これは勝手な予想ですが，右下図を使うと正しいことが証明できます。

f:id:variee:20220204191908p:plain

正六角形をもとに正三角形 XYZ を作ります。
AF と ZX は平行で $\mathrm{AG:GF=ZC:CX}=1:2$ なので Y, G, J, C は一直線上にあります。
同様に A, J, I, X が一直線上にあることも言えて証明完了です。

計算に入りましょう。

$\triangle\mathrm{JAG}$ と $\triangle\mathrm{JXC}$ は相似。
相似比は $\mathrm{AG}:\mathrm{XC}=1:6$ なので $\mathrm{JG}:\mathrm{JC}$ も $1:6$ 。

$\triangle\mathrm{AJG}$ の面積は $\triangle\mathrm{ACG}$ の $1/7$ 倍です。
\begin{align*}
\triangle\mathrm{AJG}=\triangle\mathrm{ACG}\times\frac{1}{7}={\frac{2}{21}\ \mathrm{cm^2}}
\end{align*}

(3)　図のように各部分の面積 $S$ , $T$ , $U$ を定めます。(2)より $T=2/21$ です。

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六角形全体，四角形 GABC を考えると
\begin{align*}
S+3(T+U)=6,\, 2T+U=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}
\end{align*}

これを解くと $U=31/21$ , $S=9/7$ を得ます。求める面積は $S$ です。
\begin{align*}
\frac{9}{7}=1\,\frac{2}{7}\ \mathrm{cm^2}
\end{align*}

分割法をもう1つ紹介します。
正六角形をもとに正三角形 $\mathrm{X'Y'Z'}$ を作ります。
$\triangle\mathrm{Z'CG}$ の面積は $\triangle\mathrm{Z'BA}$ の $2\times (1+1/3)=4/3$ 倍で $8/3\ \mathrm{cm^2}$ 。
この形の三角形 3 枚と $S$ で $\triangle\mathrm{X'Y'Z'}$ を覆うと $3T=2/7$ 分のダブリが生じます。