三角形の外心と内分比 / 2022 近畿大学・医学部第1問

問題
解答
座標計算など

問題

鋭角三角形 ABC があり， $\mathrm{AB} = 13$ ， $\mathrm{BC} = 15$ であるとする。
点 A から辺 BC に下ろした垂線と BC との交点を D とおき，点 D が辺 BC を $1:2$ に内分するときについて考える。
(1)　 $\mathrm{AD} =\fbox{ア}$ ， $\mathrm{AC} = \fbox{イ}$ である。
(2)　点 C から辺 AB に下ろした垂線と AB との交点を E とおき，直線 AD と直線 CE との交点を H とおく。
このとき $\mathrm{CH} =\fbox{ウ}$ , $\mathrm{BE}/\mathrm{AE}=\fbox{エ}$ ， $\mathrm{AH}/\mathrm{DH}=\fbox{オ}$ である。
また，4 点 B, D, E, H は同一円周上にあり，その円の半径は $\fbox{カ}$ である。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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解答

(1)　 $\mathrm{BC}=15$ と $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=1:2$ から $\mathrm{BD}=5$ , $\mathrm{DC}=10$ がわかります。

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あとは三平方の定理です。
\begin{align*}
\mathrm{AD}=\sqrt{13^2-5^2}={12},\, \mathrm{AC}=\sqrt{12^2+10^2}={2\sqrt{61}}
\end{align*}

(2)　 $\triangle\mathrm{ABD}$ , $\triangle\mathrm{CBE}$ , $\triangle\mathrm{CHD}$ はすべて相似で，3 辺の長さの比は $5:12:13$ です。
\begin{align*}
\therefore \mathrm{CH}=\frac{13}{12}\mathrm{CD}={\frac{65}{6}}
\end{align*}

同様に $\mathrm{BE}=\frac{5}{13}\mathrm{BC}=\frac{75}{13}$ もわかります。
\begin{align*}
&\mathrm{AE}=\mathrm{AB}-\mathrm{BE}=\frac{94}{13}\quad \therefore \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AE}}=\frac{75}{13}\cdot \frac{13}{94}
={\frac{75}{94}}
\end{align*}

$\mathrm{AH}/\mathrm{DH}$ はメネラウスの定理で求めます。
\begin{align*}
\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}\cdot \frac{\mathrm{DH}}{\mathrm{HA}}=1
&\Leftrightarrow \frac{94}{75}\cdot\frac{15}{10}\cdot \frac{\mathrm{DH}}{\mathrm{HA}}=1\\[5pt]
&\Leftrightarrow \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{DH}}={\frac{47}{25}}
\end{align*}

$\angle\mathrm{BEH}=\angle\mathrm{BDH}=90^{\circ}$ より B, D, E, H は BH を直径とする円上にあります。

$\mathrm{AD}=12$ と $\mathrm{AH}:\mathrm{HD}=47:25$ から
\begin{align*}
\mathrm{HD}=12\cdot \frac{25}{47+25}=\frac{25}{6}
\end{align*}

半径は次のようになります。
\begin{align*}
\frac{1}{2}\mathrm{BH}=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{BD}^2+\mathrm{HD}^2}
=\frac{1}{2}\sqrt{5^2+\left(\frac{25}{6}\right)^2}={\frac{5\sqrt{61}}{12}}
\end{align*}

座標計算など

$\mathrm{AD}\bot\mathrm{BC}$ に注目して座標計算で解くこともできます。図のように座標をとります。

f:id:variee:20220131214515p:plain

AB の方程式は $y=\frac{12}{5}(x+5)$ なので直線 CH の方程式は $y=-\frac{5}{12}(x-10)$ です。

$y$ 軸との交点を求めると $\mathrm{H}\left(0,\, \frac{25}{6}\right)$ なので $\mathrm{HD}=\frac{25}{6}$ です。

これで $\fbox{ウ}\fbox{オ}$ がうまります。
\begin{align*}
&\fbox{ウ}=\mathrm{CH}=\sqrt{\mathrm{CD}^2+\mathrm{HD}^2}=\sqrt{10^2+\left(\frac{25}{6}\right)^2}={\frac{65}{6}}\\[3pt]
&\fbox{オ}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{DH}}=\frac{y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{H}}}{y_{\mathrm{H}}}
=\frac{12-\frac{25}{6}}{\frac{25}{6}}={\frac{47}{25}}
\end{align*}

$\mathrm{BH}$ も簡単に求められるので $\fbox{カ}$ もうまります。
\begin{align*}
&\mathrm{BH}=\sqrt{{x_{\mathrm{B}}}^2+{y_{\mathrm{H}}}^2}=\sqrt{5^2+\left(\frac{25}{6}\right)^2}=\frac{5\sqrt{61}}{6}\\[3pt]
&\therefore \fbox{カ}=\frac{1}{2}\mathrm{BH}={\frac{5\sqrt{61}}{12}}
\end{align*}

E は $\mathrm{AB}:y=\frac{12}{5}(x+5)$ と $\mathrm{CH}:y=-\frac{5}{12}(x-10)$ の交点です。

$\mathrm{E}\left(-\frac{470}{169},\, \frac{900}{169}\right)$ を使うと $\fbox{エ}$ がうまります。
\begin{align*}
\fbox{エ}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AE}}=\frac{y_{\mathrm{E}}}{y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{E}}}
=\frac{\frac{900}{169}}{12-\frac{900}{169}}={\frac{75}{94}}
\end{align*}

ただ，ここは $\cos$ を使う方が楽です。
(1)から $\cos B=\mathrm{BD}/\mathrm{AB}=5/13$ がわかって $\mathrm{BE}\to\mathrm{AE}\to\text{(比)}$ の順に求まります。
\begin{align*}
&\mathrm{BE}=\mathrm{BC}\cos\angle B=15\cdot\frac{5}{13}=\frac{75}{13}
\quad\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{AB}-\mathrm{BE}=\frac{94}{13}\\[5pt]
&\therefore \fbox{エ}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AE}}=\frac{75}{13}\cdot \frac{13}{94}
={\frac{75}{94}}
\end{align*}

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