領域内における最大値と最小値 / 2022 近畿大学・医学部 第3問

問題

とし，, とする。

(1)　 と で囲まれた図形の面積が 9 となるような定数 の値を求めよ。

(2)　, が 2 つの不等式 , をみたすとする。
このとき， の最大値が 9 となるような定数 の値を求めよ。
また， の最小値が となるような定数 の値を求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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(1)は 1/6 公式

(1)は 公式を使うだけです。まず を消去して交点の 座標を求めます。
\begin{align*}
x^2+2ax=-x^2+4ax+12a^2\quad \therefore (x+2a)(x-3a)=0
\end{align*}

交点の 標は と です。 より なので面積が 9 になる条件は
\begin{align*}
\frac{2}{6}\left\{3a-(-2a)\right\}^3=9\Leftrightarrow (5a)^3=27=3^3
\end{align*}

より なので答えは「」

(2)は文字固定

, のグラフは次のようになります。

は を固定すると の減少関数になります。
が最大になるのは のときです。
\begin{align*}
2x-y=2x-f(x)=-x^2-2(a-1)x=-\left\{x+(a-1)\right\}^2+(a-1)^2
\end{align*}

これを とおきます。

が最小になるのは のときです。
\begin{align*}
2x-y=2x-g(x)=x^2-2(2a-1)x-12a^2=\left\{x-(2a-1)\right\}^2-16a^2+4a-1
\end{align*}

これを とおきます。

あとは軸が に含まれるかどうかで場合分けします。

最大値について

ア） つまり のとき

は で最大になります
\begin{align*}
M(3a)=9\Leftrightarrow 5a^2-2a+3=0
\end{align*}

これは実数解をもたないので不適です。

イ） つまり のとき

は で最大になります
\begin{align*}
M(1-a)=9\Leftrightarrow a^2-2a-8=0\Leftrightarrow (a+2)(a-4)=0
\end{align*}

より です。

ウ） つまり のとき

に反するので不適。

まとめると最大値が 9 になる条件は「」です。

最小値について

ア） つまり のとき

に反するので不適。

イ） つまり のとき

は で最小になります
\begin{align*}
m(2a-1)=-9\Leftrightarrow 4a^2-a-2=0
\end{align*}

をみたす解を求めると があります。

ウ） つまり のとき

は で最小になります
\begin{align*}
m(-2a)=-9\Leftrightarrow 4a-9=0\Leftrightarrow a=\frac{9}{4}
\end{align*}

これは をみたさないので不適です。

まとめると最小値が になる条件は「」です。

(2)で 2x-y=k のグラフを考える

の存在領域と直線 つまり が共有点をもつ条件を考えて解くこともできます。
この解法のポイントは「最大値，最小値を与えるのは端点を通るときか接するとき」です。
接点が定義域内にあるかどうか確かめるのを忘れないようにしましょう。

最大値について

が最大のとき の 切片は最小値をとります。
これは直線が「端点 を通るとき」か「 と で接するとき」です。

ア） を通るとき

です。

イ） と で接するとき

と から を消去すると
\begin{align*}
x^2+2(a-1)x+k=0
\end{align*}

これが に重解をもちます。
判別式と軸に注目すると条件は次のようになります。
\begin{align*}
&(a-1)^2-k=0,\, -2a\leqq -(a-1)\leqq 3a\\
&\therefore k=(a-1)^2,\, a\geqq \frac{1}{4}
\end{align*}

まとめます。
\begin{align*}
k_{\max}=\left\{\begin{array}{ll}
\max\left\{6a-15a^2,\, (a-1)^2\right\} & \left(a\geqq \dfrac{1}{4}\right)\\[8pt]
6a-15a^2 & \left(0< a< \dfrac{1}{4}\right)
\end{array}\right.
\end{align*}

これが 9 になる条件を求めると「」を得ます。

最小値について

が最小のとき の 切片は最大値をとります。
これは直線が「端点 を通るとき」か「 と で接するとき」です。

ア） を通るとき

です。

イ） と で接するとき

と から を消去すると
\begin{align*}
x^2+2(1-2a)x-12a^2-k=0
\end{align*}

これが に重解をもちます。
判別式と軸に注目すると条件は次のようになります。
\begin{align*}
&(1-2a)^2+12a^2+k=0,\, -2a\leqq 2a-1\leqq 3a\\
&\therefore k=-16a^2+4a-1,\, a\geqq \frac{1}{4}
\end{align*}

まとめます。
\begin{align*}
k_{\min}=\left\{\begin{array}{ll}
\min\left\{-4a,\, -16a^2+4a-1\right\} & \left(a\geqq \dfrac{1}{4}\right)\\[8pt]
-4a & \left( 0< a< \dfrac{1}{4}\right)
\end{array}\right.
\end{align*}

これが になる条件を求めると「」を得ます。

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