x+y+z=1, x+2y+3z=5, z >=0のときのxyzの最大値 / 2017 大阪大学・文系第2問

問題
(1)について
(2)について
f(β) の計算

問題

実数 $x$ , $y$ , $z$ が $x+y+z=1$ , $x+2y+3z=5$ をみたすとする。
(1)　 $x^3+y^3+z^3-3xyz$ の最小値を求めよ。
(2)　 $z\geqq 0$ のとき， $xyz$ が最大となる $z$ の値を求めよ。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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(1)について

条件式が未知数より少ないので $x$ , $y$ , $z$ の値は決まりませんが，1 つの文字で残り 2 つを表すことはできます。
(2)が「 $z$ の値を求めよ」なので $x$ と $y$ を $z$ であらわします。

$x+y+z=1\text{　……(A)}$ , $x+2y+3z=5\text{　……(B)}$ から

$x=z-3,\, y=-2z+4\text{　……(C)}$

これを使って与式を $z$ の関数に直します。

\begin{align*}
&x^3+y^3+z^3-3xyz\\
&=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\
&=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\quad (\because \text{(A)})\\
&=(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)\\
&=1-3(xy+yz+zx)\quad (\because \text{(A)})\\
&=9z^2-33z+37\quad (\because \text{(C)})\\
&=9\left(z-\frac{11}{6}\right)^2+\frac{27}{4}
\end{align*}

最小値は $z=\dfrac{11}{6}$ のときの「 $\dfrac{27}{4}$ 」です。

(2)について

$f(z)=xyz$ とおきます。(C)よりこれは 3 次関数です。

\begin{align*}
&f(z) =(z-3)(-2z+4)z=-2z^3+10z^2-12z\\
&\therefore f'(z) =-6z^2+20z-12=-2(3z^2-10z+6)
\end{align*}

$\alpha=(5-\sqrt{7})/3$ , $\beta=(5+\sqrt{7})/3$ とおいて増減表を書きます。

f:id:variee:20220107153821p:plain

最大値は $f(0)$ と $f(\beta)$ の大きい方です。

$f(\beta)$ の値を計算して比較することもできますが， $f(0)=f(2)=f(3)=0$ を利用してグラフを描くとはやいです。

f:id:variee:20220107153836p:plain

$xyz$ が最大になるのは $z=\beta$ のときで，答えは「 $z=\dfrac{5+\sqrt{7}}{3}$ 」です。

f(β) の計算

(2)で $f(\beta)$ を計算するとどうなるか見ておきましょう。

$\beta$ は $3z^2-10z+6=0$ の解です。これを使って次数下げします。

\begin{align*}
&f(z) =\left(-\frac{2 z}{3}+\frac{10}{9}\right)(3z^2-10z+6)+\frac{28}{9}z-\frac{20}{3}\\[3pt]
&\therefore f(\beta) =\frac{28}{9}\beta-\frac{20}{3}=\frac{4}{27} (7 \sqrt{7}-10)
\end{align*}

これは $f(0)=0$ より大きいので(2)の答えは $z=\beta$ です。

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