三角関数の最大値と最小値 / 2022 杏林大学 第1問

問題

(1) 三角関数について,次の関係式が成り立つ。

\begin{align*}
&\cos 2\theta=\fbox{アイ}\sin^2\theta+\fbox{ウ}\\
&\sin 3\theta=\fbox{エオ}\sin^3\theta+\fbox{カ}\sin\theta
\end{align*}

(2)  0\leqq \theta< 2\pi のとき,関数
\begin{align*}
y=-\frac{1}{12}\sin3\theta+\frac{3}{8}\cos 2\theta-\frac{3}{4}\sin\theta
\end{align*}
は, \theta=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}\pi で最小値  \frac{\fbox{ケコサ}}{\fbox{シス}} をとり, \sin\theta=\frac{\fbox{セソ}}{\fbox{タ}} のとき最大値  \frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テト}} をとる。

また, y の極値を与える  \theta の個数は  \fbox{ナ} である。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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解答

(1) これは倍角公式,3 倍角の公式を使うだけです。
\begin{align*}
&\cos 2\theta=-2\sin^2\theta+1\\
&\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta
\end{align*}

(2) (1)を使って  \sin の関数に直します。
\begin{align*}
y&=-\frac{1}{12}(-4\sin^3\theta+3\sin\theta)+\frac{3}{8}(-2\sin^2\theta+1)-\frac{3}{4}\sin\theta\\
&=\frac{1}{3}\sin^3\theta-\frac{3}{4}\sin^2\theta-\sin\theta+\frac{3}{8}
\end{align*}

普通はこのあと  x=\sin\theta のように置換すると思いますが, \fbox{ナ} \theta の関数としての増減が問われているのでこのまま微分します。
\begin{align*}
y'&=\sin^2\theta\cos\theta-\frac{3}{2}\sin\theta\cos\theta-\cos\theta\\
&=\frac{1}{2}\cos\theta(2\sin^2\theta-3\sin\theta-2)\\
&=\frac{1}{2}\cos\theta(2\sin\theta+1)(\sin\theta-2)
\end{align*}

増減表は次のようになります。

f:id:variee:20220124193427p:plain

最小値は  \theta=\frac{1}{2}\pi のときの  -\frac{25}{24}

最大値は  \frac{31}{48} で,このとき  \theta=\frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi より  \sin\theta=-\frac{1}{2}

また,極値を与える  \theta は 4 個です。

楽に解こう

上に示した解答は記述式の試験用のものです。杏林大学の試験では途中過程は問われないのでこのレベルの答案を作る必要はありません。
時間もないのでもっと楽に解きましょう。

三角関数の略記

私ならまず  \cos\theta=c,  sin\theta=s と略記して書く量を減らします。
\begin{align*}
y&=-\frac{1}{12}(-4s^3+3s)+\frac{3}{8}(-2s^2+1)-\frac{3}{4}s\\
&=\frac{1}{3}s^3-\frac{3}{4}s^2-s+\frac{3}{8}\\[5pt]
y'&=s^2c-\frac{3}{2}sc-c=\frac{1}{2}c(2s^2-3s-2)\\
&=\frac{1}{2}c(2s+1)(s-2)
\end{align*}

答えの予想と通分

解答欄の形から  \theta=0 は最大値も最小値も与えないことがわかります。
 \theta=0,  2\pi のときの  y が等しいことも明らかで,残り 4 つの  \theta について考えれば十分です。

最小値

最小値を与える  \theta \frac{\pi}{2},  \frac{3}{2}\pi のどちらかで,それぞれ  \sin\theta=1,\, -1 です。
 y を求めるときの通分が面倒なのであらかじめ 24 倍しておきます。
\begin{align*}
24y=8\sin^3\theta-18\sin^2\theta-24\sin\theta+9
\end{align*}

 \sin\theta=1 のときは  24y=-25 になって, \sin\theta=-1 のときは  24y=7 になります。
 y の最小値は  -25/24 です。

最大値

最大値を与える  \theta \frac{7}{6}\pi,  \frac{11}{6}\pi のどちらかです。
これらに対する  \sin は等しいので  y も等しい値になります。
 \sin\theta=-1/2 より  24y=31/2 なので最大値は  31/48 です。

sin を置換したらどうなるか

 \sin\theta=x と置換したらどうなるか見てみましょう。
\begin{align*}
y=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{4}x^2-x+\frac{3}{8}
\end{align*}

これを  f(x) とおきます。
\begin{align*}
f'(x) &=x^2-\frac{3}{2}x-1=\frac{1}{2}(2x+1)(x-2)
\end{align*}

 -1\leqq x\leqq 1 より増減表は次のようになります。

f:id:variee:20220124194038p:plain

最小値は  x=\sin\theta=1 つまり  \theta=\frac{\pi}{2} のときの  -\frac{25}{24}

最大値は  x=\sin\theta=-\frac{1}{2} のときの  \frac{31}{48}

 \theta の関数としての  y」と「 x の関数としての  y」では増減の仕方が違うので,本解答では  \fbox{ナ} 解くために置換しませんでしたが,じつは置換しても解けます。
\begin{align*}
\frac{dy}{d\theta} &=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{d\theta}=f'(x)\cos\theta\\
&=\frac{1}{2}(2x+1)(x-2)\cos\theta
\end{align*}

 f'(x) の符号の変わり目は  x=\sin\theta=-\frac{1}{2} より  \theta=\frac{7}{6}\pi,  \frac{11}{6}\pi です。
 \cos\theta の符号の変わり目は  \theta=\frac{\pi}{2},  \frac{3}{2}\pi でこれらの間にダブリはありません。
 \theta の関数としての  y 」の極値を与える  \theta は 4 個です。


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